Để chứng minh D là trung điểm của BC trong tam giác vuông ABC tại A với đường cao AH, ta có thể thực hiện theo các bước sau:

1. **Đặt hệ trục tọa độ**: Cho tam giác ABC vuông tại A có A(0,0), B(b,0) và C(0,c), nơi b và c là độ dài của hai cạnh vuông góc.

2. **Xác định tọa độ các điểm H, M, N**:
- Điểm H là chân đường cao từ A xuống BC, do đó H có tọa độ H(h,k) được xác định bằng cách tìm giao điểm của đường thẳng BC và đường thẳng vuông góc với BC đi qua A.
- Điểm M là giao điểm của đường cao AH với đường thẳng AB. Vì AB nằm trên trục hoành, do đó M sẽ có tọa độ M(m,0) với m là hoành độ của M.
- Tương tự, điểm N sẽ có tọa độ N(0,n) với n là tung độ của N.

3. **Tính toán tọa độ điểm D**:
- Đường thẳng MN sẽ được thể hiện bằng hệ phương trình khi đặt các tọa độ của M và N vào.
- Đường thẳng đi qua A và vuông góc với MN sẽ có hệ số góc là ngược lại (đối) với hệ số góc của MN.

4. **Sát đôi điểm D và BC**:
- Gọi phương trình của BC là y = -\(\frac{c}{b}\)x + c. Khai thác điều này, ta tìm điểm D là giao điểm giữa đường thẳng đi qua A và vuông góc với MN với BC.
- Đến lúc này, tra lại kết quả nghiệm của D trong tọa độ, chúng ta muốn chứng minh rằng tọa độ D có tọa độ được tính là trung điểm của B và C.

5. **Chứng minh D là trung điểm**:
- Cuối cùng, chúng ta có thể sử dụng phép tính hoặc rút gọn biểu thức để chứng minh rằng tọa độ của D bằng trung bình cộng tọa độ của B và C, tức là:
\[
D\left(\frac{b}{2}, \frac{c}{2}\right).
\]

Kết luận: Với việc chứng minh rằng D có tọa độ là trung điểm của BC, chúng ta hoàn tất bài toán. Do đó, ta khẳng định rằng D là trung điểm của BC.