Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

**a. Tính chu kỳ và tần số dao động của vật:**

- Độ dài quỹ đạo (A) là 40 cm, do đó biên độ (A) là 20 cm (một nửa quỹ đạo dài).
- Tần số (f) được tính bằng công thức:

\[
T = \frac{1}{f}
\]

- Vận tốc dao động tại biên độ cực đại \( V = A \cdot \omega \), trong đó \( \omega = 2 \pi f \).

Từ thông tin, khi vật ở vị trí 10 cm, vật có vận tốc \( 20\sqrt{3} \, \text{cm/s} \).

Dùng công thức của vận tốc trong dao động điều hòa:

\[
v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}
\]

Khi \( x = 10 \text{cm} \):

\[
20\sqrt{3} = \omega \sqrt{20^2 - 10^2} = \omega \sqrt{400 - 100} = \omega \sqrt{300} = \omega \cdot 10\sqrt{3}
\]

Từ đó, ta có:

\[
\omega = 20 \, \text{rad/s} \Rightarrow 2\pi f = 20 \Rightarrow f = \frac{20}{2\pi} \approx 3,18 \, \text{Hz}
\]

Chu kỳ \( T \):

\[
T = \frac{1}{f} \approx \frac{1}{3,18} \approx 0,314 \, \text{s}
\]

---

**b. Viết phương trình dao động:**

Phương trình dao động có dạng:

\[
x(t) = A \cos(\omega t + \phi)
\]

Với \( A = 20 \, \text{cm} \) và \( \omega = 20 \, \text{rad/s} \).

Ta biết rằng tại \( t = 0 \):

Tại vị trí \( x = 10 \, \text{cm} \), và vận tốc là \( 20\sqrt{3} \). Ta có thể tính \( \phi \) từ:

\[
v = -A \omega \sin(\omega t + \phi)
\]

Sử dụng giá trị \( x \) và \( v \) để tìm \( \phi \).

---

**c. Tính tốc độ cực đại và gia tốc cực đại:**

- Tốc độ cực đại \( v_{\text{max}} = A\omega \):

\[
v_{\text{max}} = 20 \cdot 20 = 400 \, \text{cm/s}
\]

- Gia tốc cực đại \( a_{\text{max}} = A\omega^2 \):

\[
a_{\text{max}} = 20 \cdot 20^2 = 20 \cdot 400 = 8000 \, \text{cm/s}^2
\]

Tóm lại:
- Chu kỳ \( T \approx 0,314 \) s
- Tần số \( f \approx 3,18 \) Hz
- Phương trình dao động vẫn cần tính toán thêm để tìm \( \phi \).
- Tốc độ cực đại \( v_{\text{max}} = 400 \, \text{cm/s} \)
- Gia tốc cực đại \( a_{\text{max}} = 8000 \, \text{cm/s}^2 \)