Để phân số \( A = \frac{3n + 9}{n - 4} \) có giá trị là một số nguyên, mẫu số \( n - 4 \) phải khác 0, và \( 3n + 9 \) phải chia hết cho \( n - 4 \).

Ta sẽ tiến hành tìm \( n \):

1. Điều kiện mẫu số khác 0:
\[ n - 4 \neq 0 \Rightarrow n \neq 4 \]

2. Ta cần \( 3n + 9 \) chia hết cho \( n - 4 \). Để kiểm tra, ta sẽ chia \( 3n + 9 \) cho \( n - 4 \) bằng phương pháp phân tích đa thức.

\[
3n + 9 = 3(n - 4) + 21
\]

Vậy ta có:
\[
A = 3 + \frac{21}{n - 4}
\]

Để \( A \) là số nguyên, \( \frac{21}{n - 4} \) cũng phải là số nguyên. Điều này có nghĩa là \( n - 4 \) phải là một ước số của 21.

3. Các ước số của 21 là: \( \pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 21 \). Từ đó, ta có các giá trị cho \( n - 4 \):
\[
n - 4 = 1 \Rightarrow n = 5 \\
n - 4 = -1 \Rightarrow n = 3 \\
n - 4 = 3 \Rightarrow n = 7 \\
n - 4 = -3 \Rightarrow n = 1 \\
n - 4 = 7 \Rightarrow n = 11 \\
n - 4 = -7 \Rightarrow n = -3 \\
n - 4 = 21 \Rightarrow n = 25 \\
n - 4 = -21 \Rightarrow n = -17
\]

4. Dạng \( n \) nhận được là:
\[
n = -17, -3, 1, 3, 5, 7, 11, 25
\]

Bây giờ ta sẽ tính giá trị của \( A \) cho từng giá trị \( n \):

- Với \( n = -17 \):
\[
A = \frac{3(-17) + 9}{-17 - 4} = \frac{-51 + 9}{-21} = \frac{-42}{-21} = 2
\]

- Với \( n = -3 \):
\[
A = \frac{3(-3) + 9}{-3 - 4} = \frac{-9 + 9}{-7} = \frac{0}{-7} = 0
\]

- Với \( n = 1 \):
\[
A = \frac{3(1) + 9}{1 - 4} = \frac{3 + 9}{-3} = \frac{12}{-3} = -4
\]

- Với \( n = 3 \):
\[
A = \frac{3(3) + 9}{3 - 4} = \frac{9 + 9}{-1} = \frac{18}{-1} = -18
\]

- Với \( n = 5 \):
\[
A = \frac{3(5) + 9}{5 - 4} = \frac{15 + 9}{1} = \frac{24}{1} = 24
\]

- Với \( n = 7 \):
\[
A = \frac{3(7) + 9}{7 - 4} = \frac{21 + 9}{3} = \frac{30}{3} = 10
\]

- Với \( n = 11 \):
\[
A = \frac{3(11) + 9}{11 - 4} = \frac{33 + 9}{7} = \frac{42}{7} = 6
\]

- Với \( n = 25 \):
\[
A = \frac{3(25) + 9}{25 - 4} = \frac{75 + 9}{21} = \frac{84}{21} = 4
\]

- Kết quả:
- \( n = -17 \) → \( A = 2 \)
- \( n = -3 \) → \( A = 0 \)
- \( n = 1 \) → \( A = -4 \)
- \( n = 3 \) → \( A = -18 \)
- \( n = 5 \) → \( A = 24 \)
- \( n = 7 \) → \( A = 10 \)
- \( n = 11 \) → \( A = 6 \)
- \( n = 25 \) → \( A = 4 \)

Như vậy, các giá trị nguyên của \( n \) tồn tại với các giá trị của \( A \) tương ứng là \( 2, 0, -4, -18, 24, 10, 6, 4 \).