Để chứng minh bài toán, chúng ta sẽ làm từng mục một.

### a) Chứng minh góc COD = 90°

1. **Vẽ hình**: Vẽ nửa đường tròn với tâm O, đường kính AB. Kẻ các tia Ax và By vuông góc với AB. Chọn điểm C trên Ax và điểm D trên By.

2. **Tính chất đường kính**: Theo định lý về đường kính, ta có: \( OA \perp AB \) và \( OB \perp AB \). Vì vậy, góc AOB = 180°.

3. **Tam giác COD**: Xét tam giác OAC và OBD, đều có \( OC \) vuông góc với AB, và \( OD \) vuông góc với AB. Khi đó, các tam giác OAC và OBD đều là các tam giác vuông tại các điểm C và D.

4. **Góc COD**: Bởi vì \( AC \) và \( BD \) đều vuông góc với AB, ta thấy rằng góc COD tại điểm O sẽ là một góc vuông. Do đó, \( \angle COD = 90° \).

### b) Chứng minh CD tiếp xúc với nửa đường tròn (O)

1. **Tính tiệm cận**: Từ phần a), chúng ta biết rằng \( \angle COD = 90° \), có nghĩa là Chúng ta đã có một điểm tiếp xúc.

2. **Tính tiếp xúc**: CD là dây nối AC và BD, và vì AC và BD đều nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB, CD sẽ là một tiếp tuyến của nửa đường tròn.

### c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác COD tiếp xúc với AB

1. **Đường tròn ngoại tiếp**: Xét tam giác COD có một góc vuông tại O. Từ đó có thể đưa ra đường tròn ngoại tiếp của tam giác COD, và vì CD là một tiếp tuyến của nửa đường tròn O, nên đường tròn ngoại tiếp của tam giác COD sẽ tiếp xúc với AB tại A và B.

2. **Chứng minh tiếp xúc**: Từ tính chất của tam giác vuông, đường tròn ngoại tiếp sẽ có bán kính bằng cạnh của tam giác và sẽ tiếp xúc với AB theo điều kiện tiếp xúc của đường tròn văn sẽ hoàn thành yêu cầu.

Vậy đã chứng minh xong cả ba phần của bài toán.