Chứng minh apmn là hình bình hành

Để chứng minh rằng tứ giác APMN là hình bình hành, chúng ta sẽ làm theo từng bước như sau:

**Giả thiết:**
- Hình chữ nhật ABCD với A, B, C, D là các đỉnh theo thứ tự.
- \( M \), \( N \) là các trung điểm của \( HC \), \( HD \) và \( P \) là trung điểm của \( AB \).

### a) Chứng minh \( MN = \frac{1}{2} DC \):

1. **Xác định tọa độ các điểm:**
- Giả thiết tọa độ của các đỉnh của hình chữ nhật:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( C(a, b) \)
- \( D(0, b) \)

2. **Tính tọa độ các điểm M, N, P:**
- Điểm \( M \) là trung điểm của \( HC \):
- \( H = \frac{D + C}{2} = \left( \frac{0 + a}{2}, \frac{b + b}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, b \right) \)
- Tọa độ \( N \) là trung điểm của \( HD \):
- \( H = \frac{D + C}{2} = \left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{b + b}{2} \right) = \left( 0, b \right) \)
- Tọa độ \( P \) là trung điểm của \( AB \):
- \( P = \frac{A + B}{2} = \left( \frac{0 + a}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, 0 \right) \)

3. **Tính độ dài \( MN \):**
- Tọa độ các điểm \( M \) và \( N \):
- \( M \left( \frac{a}{2}, b \right) \)
- \( N(0, b) \)
- Độ dài \( MN \):
\[
MN = \sqrt{\left( \frac{a}{2} - 0 \right)^2 + (b - b)^2} = \sqrt{\left( \frac{a}{2} \right)^2} = \frac{a}{2}
\]
- Độ dài \( DC \):
\[
DC = \sqrt{(0 - a)^2 + (b - b)^2} = a
\]
- Từ đó, ta thấy \( MN = \frac{1}{2} DC \).

### b) Chứng minh APMN là hình bình hành:

1. **Chứng minh hai cặp cạnh đối song song:**
- Cạnh \( AP \) và \( MN \):
- Tọa độ \( A(0, 0) \) và \( P \left( \frac{a}{2}, 0 \right) \) cho thấy \( AP \) nằm trên trục hoành.
- Tọa độ \( M \left( \frac{a}{2}, b \right) \) và \( N(0, b) \) cho thấy \( MN \) cũng nằm trên đường thẳng y = b, theo đó:
- Do đó \( AP \parallel MN \).

- Cạnh \( PM \) và \( AN \):
- Tọa độ \( P \left( \frac{a}{2}, 0 \right) \) và \( M \left( \frac{a}{2}, b \right) \) cho thấy cả hai nằm trên đường vertical x = \(\frac{a}{2}\).
- Do đó \( PM \parallel AN \).

2. **Kết luận:** Vì \( AP \parallel MN \) và \( PM \parallel AN \), nên tứ giác APMN là hình bình hành.

### c) Chứng minh PM vuông góc với DM:

1. **Tính độ dốc của các đoạn thẳng:**
- Đoạn thẳng \( PM \):
- Tọa độ của \( P \) là \( \left( \frac{a}{2}, 0 \right) \) và \( M \left( \frac{a}{2}, b \right) \).
- Độ dốc của \( PM \) là không xác định (đoạn thẳng đứng).
- Đoạn thẳng \( DM \):
- Tọa độ của \( D(0, b) \) và \( M \left( \frac{a}{2}, b \right) \).
- Độ dốc của \( DM = 0 \) (đoạn thẳng ngang).

2. **Kết luận:** Vì đoạn thẳng \( PM \) là đoạn thẳng đứng và đoạn thẳng \( DM \) là đoạn thẳng ngang, nên hai đoạn \( PM \) và \( DM \) vuông góc với nhau.

Tóm lại, ta đã chứng minh được:
- \( MN = \frac{1}{2} DC \)
- \( APMN \) là hình bình hành
- \( PM \) vuông góc với \( DM \)