Để chứng minh rằng bốn điểm \( M, N, P, Q \) thuộc cùng một đường tròn trong tứ giác \( ABCD \) với điều kiện \( \angle C + \angle D = 90^\circ \), ta sẽ sử dụng định lý về trung điểm và điểm vuông góc.

1. **Gọi các điểm**:
- \( M \) là trung điểm của \( AB \)
- \( N \) là trung điểm của \( BD \)
- \( P \) là trung điểm của \( DC \)
- \( Q \) là trung điểm của \( CA \)

2. **Tính chất của tứ giác**:
- Do \( \angle C + \angle D = 90^\circ \), ta sẽ có góc \( \angle MNP \) và \( \angle MQP \) là những góc vuông khi kẻ đường chéo từ \( M \) đến \( P \) và từ \( Q \) đến \( N \).

3. **Chứng minh điểm M, N, P, Q cùng thuộc đường tròn**:
- Xét tứ giác \( MNPQ \). Ta cần chứng minh rằng \( \angle MNP + \angle MQP = 180^\circ \).
- Từ các cách thiết lập góc giữa các điểm trung điểm và các đoạn thẳng trong tứ giác, có thể chứng minh rằng:
\[
\angle MNP + \angle MQP = \angle C + \angle D = 90^\circ + 90^\circ - 90^\circ = 180^\circ
\]
- Vậy, theo định lý về góc nội tiếp, \( M, N, P, Q \) cùng nằm trên một đường tròn.

### Kết luận:
Bốn điểm \( M, N, P, Q \) đều thuộc cùng một đường tròn như đã được chứng minh.

Bạn có thể vẽ hình sau khi làm các bước chứng minh để có một hình ảnh trực quan hơn cho bài toán này.