Để tìm số phần tử của tập hợp \( A = \{k^2 + \frac{1}{k} \mid k \in \mathbb{Z}, |k| \leq 2\} \), ta sẽ cần xác định các giá trị của \( k \) thuộc \( \mathbb{Z} \) trong khoảng từ -2 đến 2. Các giá trị của \( k \) có thể là:

\[
k = -2, -1, 0, 1, 2
\]

Tuy nhiên, khi \( k = 0 \), biểu thức \( \frac{1}{k} \) không xác định (chia cho 0). Do đó, chúng ta chỉ xem xét các giá trị \( k = -2, -1, 1, 2 \).

Tiếp theo, chúng ta tính giá trị của \( k^2 + \frac{1}{k} \) cho các giá trị hợp lệ của \( k \):

1. **Khi \( k = -2 \)**:
\[
k^2 + \frac{1}{k} = (-2)^2 + \frac{1}{-2} = 4 - \frac{1}{2} = \frac{8 - 1}{2} = \frac{7}{2} = 3.5
\]

2. **Khi \( k = -1 \)**:
\[
k^2 + \frac{1}{k} = (-1)^2 + \frac{1}{-1} = 1 - 1 = 0
\]

3. **Khi \( k = 1 \)**:
\[
k^2 + \frac{1}{k} = 1^2 + \frac{1}{1} = 1 + 1 = 2
\]

4. **Khi \( k = 2 \)**:
\[
k^2 + \frac{1}{k} = 2^2 + \frac{1}{2} = 4 + 0.5 = 4.5
\]

Từ các giá trị trên, ta có:
- Với \( k = -2 \): \( 3.5 \)
- Với \( k = -1 \): \( 0 \)
- Với \( k = 1 \): \( 2 \)
- Với \( k = 2 \): \( 4.5 \)

Vậy, các giá trị của biểu thức \( k^2 + \frac{1}{k} \) là \( 3.5, 0, 2, 4.5 \).

Chúng đều khác nhau, do đó tập hợp \( A \) có 4 phần tử khác nhau.

**Kết luận**: Số phần tử của tập hợp \( A \) là 4. Tuy nhiên, đáp án không có sẵn trong các tùy chọn. Có thể có sự nhầm lẫn nào đó trong các câu hỏi hoặc lời giải.