Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( A = x \sqrt{x} + y \sqrt{y} \) với điều kiện \( \sqrt{x} + \sqrt{y} = 1 \), ta có thể biến đổi và sử dụng những kiến thức về bất đẳng thức.

Đặt \( \sqrt{x} = a \) và \( \sqrt{y} = b \). Khi đó, \( a + b = 1 \) và \( x = a^2 \), \( y = b^2 \).

Ta có biểu thức:

\[
A = x \sqrt{x} + y \sqrt{y} = a^2 a + b^2 b = a^3 + b^3.
\]

Theo định lý tổng giác, ta biết rằng:

\[
a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) = 1(a^2 - ab + b^2).
\]

Sử dụng \( a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 1 - 2ab \), ta có:

\[
A = 1 - 3ab.
\]

Để tối thiểu hóa \( A \), ta cần tối đa hóa \( ab \). Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:

\[
\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \Rightarrow \frac{1}{2} \geq \sqrt{ab} \Rightarrow ab \leq \frac{1}{4}.
\]

Giá trị đạt được khi \( a = b = \frac{1}{2} \). Khi đó:

\[
ab = \frac{1}{4}.
\]

Thay vào biểu thức cho \( A \):

\[
A = 1 - 3 \cdot \frac{1}{4} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}.
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( A \) là:

\[
\boxed{\frac{1}{4}}.
\]