Để giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
mx + 4y = 10 - m \\
x + my = 4
\end{cases}
\]

### Khi \( m = \sqrt{2} \):

1. Thay \( m = \sqrt{2} \) vào hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
\sqrt{2}x + 4y = 10 - \sqrt{2} \\
x + \sqrt{2}y = 4
\end{cases}
\]

2. Từ phương trình thứ hai, giải cho \( x \):

\[
x = 4 - \sqrt{2}y
\]

3. Thay \( x \) vào phương trình thứ nhất:

\[
\sqrt{2}(4 - \sqrt{2}y) + 4y = 10 - \sqrt{2}
\]

4. Giải phương trình trên:

\[
4\sqrt{2} - 2y + 4y = 10 - \sqrt{2}
\]
\[
4\sqrt{2} + 2y = 10 - \sqrt{2}
\]
\[
2y = 10 - \sqrt{2} - 4\sqrt{2}
\]
\[
2y = 10 - 5\sqrt{2}
\]
\[
y = 5 - \frac{5\sqrt{2}}{2}
\]

5. Thay \( y \) vào \( x = 4 - \sqrt{2}y \):

\[
x = 4 - \sqrt{2} \left( 5 - \frac{5\sqrt{2}}{2} \right)
\]
\[
x = 4 - 5\sqrt{2} + 5
\]
\[
x = 9 - 5\sqrt{2}
\]

### Kết quả

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:

\[
\begin{cases}
x = 9 - 5\sqrt{2} \\
y = 5 - \frac{5\sqrt{2}}{2}
\end{cases}
\]

### Biện luận theo \( m \):

1. **Xác định các giá trị nguyên của \( m \)**:

- Giá trị \( m \) là nguyên, cho \( mx + 4y = 10 - m \) có nghiệm duy nhất, cần giải phương trình với điều kiện \( m \) là số nguyên dương và \( mx + 4y > 0, y > 0 \).

2. **Giá trị \( m \)**:

- Với \( m = 1 \) hoặc \( m = 2 \), có thể tìm giá trị của \( x \) và \( y \) sao cho \( x, y \) đều là số nguyên dương.

- Cần kiểm tra từng giá trị nguyên dương của \( m \) và tính nghiệm của hệ phương trình.

### Lưu ý

Xem xét các giá trị cụ thể của \( m \) sẽ giúp xác định rõ hơn nghiệm của hệ phương trình, trong khi giữ cho \( x > 0 \) và \( y > 0 \).