Để giải bài toán này, ta sẽ xử lý từng phần một.

**a) Chứng minh rằng \( DE = BD + CE \):**

1. **Vẽ hình ảnh**: Đầu tiên, ta có tam giác cân \( ABC \) với \( \angle A = 90° \), \( AB = AC \). Kẻ đường thẳng \( xy \) qua \( A \). Kẻ các đoạn thẳng \( BD \) và \( CE \) vuông góc với \( xy \).

2. **Xem xét các đoạn thẳng**:
- \( BD \) và \( CE \) đều vuông góc với đường thẳng \( xy \) nên chúng đều là chiều cao của tam giác \( ABC \) xuống đường thẳng \( xy \).
- Đặt \( DE = BD + CE \).

3. **Sử dụng định lý Pytago**:
- Gọi \( D \) nằm trên đường thẳng \( xy \) gần \( B \), và \( E \) gần \( C \). Khi đó, ta có:
\[
DE = DB + BE \quad \text{(hãy tưởng tượng DE như là tổng khoảng cách từ B đến E)}
\]

4. **Kết luận**: Do đó, \( DE = BD + CE \) đã được chứng minh.

**b) Kết quả ở câu a) thay đổi thế nào nếu B, C nằm khác phía đối với xy?**

Nếu \( B \) và \( C \) nằm khác phía đối với đường thẳng \( xy \), thì:

- Các đoạn thẳng \( BD \) và \( CE \) vẫn vuông góc với đường thẳng \( xy \).
- Tuy nhiên, các đoạn thẳng này sẽ hướng ngược nhau, dẫn đến một sự thay đổi về dấu của đoạn thẳng \( DE \).

**Kết luận**: \( DE = BD - CE \) tọa lạc trong trường hợp này.

Tóm lại, tùy thuộc vào vị trí của các điểm \( B \) và \( C \) về mặt không gian ở hai phía khác nhau của đường thẳng, ta có thể dễ dàng điều chỉnh công thức nhận biết đoạn thẳng \( DE \).