Để giải bài toán về tam giác nhọn ABC có AB > AC và đường cao AH, chúng ta sẽ đi theo từng phần:

### a. Chứng minh HB > HC

1. **Xét tam giác ABC**:
- H là chân đường cao từ A xuống BC.
- Khi đó, AH vuông góc với BC.

2. **Sử dụng định nghĩa của cạnh đối**:
- Trong tam giác ABC, biểu thức độ dài HB và HC có thể liên quan đến các cạnh AB và AC.
- Theo định lý bất đẳng thức tam giác, ta có:
- Tổng các cạnh trong tam giác phải lớn hơn một cạnh còn lại.
- Vì AB > AC nên khoảng cách từ H đến các đỉnh B, C sẽ tỉ lệ thuận với AB và AC.
- Do đó, HB > HC.

### b. So sánh góc BAH và góc CAH

1. **Xét góc BAH và góc CAH**:
- AH là đường cao, tức là AH vuông góc với BC.
- Từ phần a, ta đã chứng minh rằng HB > HC.
- Nếu HB > HC, thì dĩ nhiên góc BAH sẽ lớn hơn góc CAH.

2. **Kết luận**:
- Ta có góc BAH > góc CAH.

### c. Chứng minh tam giác MAN là tam giác cân

1. **Vẽ M, N**:
- Vẽ M và N sao cho AB, AC lần lượt là trung trực của các đoạn thẳng HM, HN.

2. **Khi M và N là trung điểm**:
- Ta có: AM = AB và AN = AC.
- Do AB > AC, nên khi H là chân đường cao, ta có MA = NA.

3. **Chứng minh**:
- Do MA = NA và AM = AN (khi M và N là trung điểm) nên MA = AN sẽ dẫn đến MAN là tam giác cân.

### Kết luận:
- Tam giác MAN là tam giác cân với AM = AN.
- Qua các phần, ta đã chứng minh xong bài toán theo yêu cầu.