Để giải và biện luận hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
(m - 1)x - my = 3m - 1 \\
2x - y = m + 5
\end{cases}
\]

theo tham số \( m \), ta tiến hành theo các bước sau:

### 1. Xét hệ phương trình

Gọi hệ phương trình là (1) và (2).

**Từ phương trình (2)**, ta có:

\[
y = 2x - (m + 5) \tag{3}
\]

**Thay (3) vào (1)** để tìm giá trị của \( x \):

\[
(m - 1)x - m(2x - (m + 5)) = 3m - 1
\]

Giản lược phương trình:

\[
(m - 1)x - 2mx + m^2 + 5m = 3m - 1
\]

\[
(m - 1 - 2m)x + m^2 + 5m - 3m + 1 = 0
\]

\[
(-m - 1)x + m^2 + 2m + 1 = 0
\]

### 2. Điều kiện nghiệm

Để có nghiệm:

- Phương trình trên có thể có nghiệm nếu \( -m - 1 \neq 0 \) (tức là \( m \neq -1 \)).
- Nếu \( m = -1 \), ta kiểm tra hệ:

\[
\begin{cases}
(-2)x + y = -4 \\
2x - y = 4
\end{cases}
\]

Giải hệ này, chúng ta sẽ tìm được một nghiệm. Khi \( m = -1 \), ta có thể xem xét chi tiết.

### 3. Nghiệm duy nhất

Khi \( m \neq -1 \), từ phương trình:

\[
x = \frac{m^2 + 2m + 1}{m + 1}
\]

Thay giá trị \( x \) vào (3) sẽ cho ra \( y \).

### 4. Xét trường hợp \( m \) nguyên

Để các đường thẳng cắt nhau tại một điểm thuộc góc phần tư IV, ta cần:

- \( y < 0 \)
- \( x > 0 \)

### 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của \( P = x^2 + y^2 \)

Dễ dàng nhận thấy \( P = x^2 + (2x - (m + 5))^2 \).

### 6. Kết luận

- Nghiệm sẽ có dạng \( (x, y) \) theo \( m \) và giá trị của \( P \) sẽ đạt được tối tiểu tại các giá trị cụ thể của \( m \).

Bạn có thể thực hiện các tính toán để tìm ra nghiệm cụ thể cho từng giá trị của \( m \).