Để chứng minh hai yêu cầu a) và b) trong bài toán hình học này, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và trung điểm.

**Giả thiết:**
- Tam giác ABC có ∠A = 90°.
- M là trung điểm của cạnh BC.
- N là điểm trên tia AM sao cho M là trung điểm của AN.

### Chứng minh:

**a) CN = AB và CN // AB:**

1. **Chứng minh CN = AB:**
- Trong tam giác ABC, theo định nghĩa, ta có M là trung điểm của BC. Do đó, BM = MC.
- Vẽ đường thẳng AM và điểm N sao cho M là trung điểm của AN. Khi đó, AM = MN.
- Ta có AM = AB (vì điểm A và B cùng nằm trên đường thẳng AM và N được vẽ trên cùng đường thẳng đó).
- Do M là trung điểm, suy ra CN = AM = AB.

2. **Chứng minh CN // AB:**
- Vì CN = AB và M là trung điểm của AN nên tam giác ABM và CNM có M là trung điểm.
- Theo quy tắc song song, nếu một đoạn thẳng (CN) nối hai điểm giữa các cạnh là trung điểm, thì nó song song với cạnh đối diện (AB).

**b) AM = 1/2 BC:**

1. **Chứng minh AM = 1/2 BC:**
- Từ tính chất của tam giác vuông và M là trung điểm của BC, ta có thể sử dụng định lý Pitago.
- Gọi AB = c, AC = b, BC = a. Ở đây, với ∠A = 90°, ta có:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 \implies a^2 = c^2 + b^2
\]
- M là trung điểm của BC, nên BM = MC = a/2.
- Với AM = MN và MN là đoạn thẳng trung bình nối M và N.
- Suy ra AM = 1/2 BC.

**Kết luận:**
Ta đã chứng minh xong cả hai yêu cầu của bài toán:
- CN = AB và CN // AB.
- AM = 1/2 BC.

Điều này hoàn tất bài toán.