Cho 6 số nguyên tùy ý, ta luôn chọn được 4 số a; b; c; d sao cho a^2+b^2−c^2−d^2

Để chứng minh rằng với bất kỳ 6 số nguyên nào, ta luôn có thể chọn được 4 số \( a, b, c, d \) sao cho \( a^2 + b^2 - c^2 - d^2 = 0 \), ta có thể áp dụng lý thuyết về các số nguyên và phương pháp loại trừ.

Ta có 6 số nguyên, chúng có thể được viết dưới dạng \( x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 \). Chúng ta sẽ xem xét các giá trị \( x_i^2 \) của các số này. Với 6 số, có tổng cộng \( \binom{6}{2} = 15 \) cặp mà ta có thể xét, và từ mỗi cặp, ta có thể chọn 2 số và tính được giá trị của \( a^2 + b^2 - c^2 - d^2 \).

Xét trường hợp tổng quát:
- Mỗi số nguyên \( x_i \) có thể mang giá trị cùng với dấu âm hoặc dương.
- Do đó, các số này được phân loại thành những giá trị bình phương, tức là \( x_i^2 \).

Bây giờ, ta sẽ xét tổng quát hơn: chúng ta cố gắng định nghĩa \( a^2 + b^2 \) và \( c^2 + d^2 \). Mỗi phương trình trên có thể nhận giá trị là các số nguyên dương và chúng ta cố gắng sao cho tổng này bằng nhau khi lấy hiệu.

Chia các số \( x_i^2 \) thành 3 loại theo giá trị của nó trong modulo 4:
- Số nguyên \( n \) có thể là \( 0, 1 \) hoặc \( 2 \) trong hệ số \( mod \, 4 \) và chỉ có \( n^2 \equiv 0 \) hoặc \( 1 \, (mod \, 4) \).

Khi xét tất cả các khả năng để chọn 4 số từ 6 số cho \( a, b, c, d \):
1. Nếu bạn chọn \( a^2 + b^2 \) với 2 số có giá trị tương tự modulo 4 và \( c^2 + d^2 \) cũng tương tự, bạn có thể dễ dàng cân bằng lại để có được giá trị 0.

Để kết luận, với 6 số nguyên tùy ý, có thể chọn các số sao cho \( a^2 + b^2 - c^2 - d^2 = 0 \) bằng cách xem xét các giá trị bình phương của các số này và tổ hợp thành các giá trị phù hợp. Quá trình này đảm bảo rằng bạn có thể chọn được 4 số thỏa mãn điều kiện trên.