Rút gọn biểu thức sau

Để rút gọn biểu thức sau, ta nhận thấy đây là tổng của các phân số dạng:

\[
\frac{1}{n(n+1)}
\]

Với \( n \) là các số tự nhiên bắt đầu từ 1 cho đến 100.

Ta có thể phân tích mỗi phân số:

\[
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
\]

Khi thực hiện tính toán tổng từ 1 đến 100, ta nhận được:

\[
\sum_{n=1}^{100} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)
\]

Khi viết dưới dạng tổng, nó sẽ trở thành chuỗi cộng dồn:

\[
\left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{100} - \frac{1}{101} \right)
\]

Hầu hết các phân số sẽ bị triệt tiêu, và cuối cùng ta còn lại:

\[
1 - \frac{1}{101} = \frac{101 - 1}{101} = \frac{100}{101}
\]

Vậy, biểu thức đã rút gọn là:

\[
\frac{100}{101}
\]