Chứng minh rằng:

Để chứng minh rằng một hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó, chúng ta cần xem xét các điều kiện của hàm số đó.

### a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến:

Một hàm số \( f(x) \) được gọi là đồng biến trên một khoảng \( I \) nếu với mọi \( x_1, x_2 \in I \) (với \( x_1 < x_2 \)), ta có:

\[
f(x_1) \leq f(x_2)
\]

Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng đạo hàm của hàm số.

1. **Điều kiện cần**: Giả sử hàm số \( f(x) \) khả vi trên khoảng \( I \).
2. Nếu đạo hàm của hàm số \( f(x) \) thỏa mãn \( f'(x) \geq 0 \) trên khoảng \( I \), thì theo định nghĩa của đạo hàm, ta có:

\[
\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \geq 0
\]

Vì vậy, khi \( x_1 < x_2 \), ta có \( f(x_2) - f(x_1) \geq 0 \) hay \( f(x_1) \leq f(x_2) \). Điều này chứng tỏ rằng hàm số \( f(x) \) đồng biến trên khoảng \( I \).

### b) Chứng minh rằng hàm số nghịch biến:

Một hàm số \( f(x) \) được gọi là nghịch biến trên một khoảng \( I \) nếu với mọi \( x_1, x_2 \in I \) (với \( x_1 < x_2 \)), ta có:

\[
f(x_1) \geq f(x_2)
\]

Để chứng minh điều này, ta cũng sử dụng đạo hàm của hàm số.

1. **Điều kiện cần**: Giả sử hàm số \( f(x) \) khả vi trên khoảng \( I \).
2. Nếu đạo hàm của hàm số \( f(x) \) thỏa mãn \( f'(x) \leq 0 \) trên khoảng \( I \), thì cũng theo định nghĩa của đạo hàm, ta có:

\[
\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \leq 0
\]

Vì vậy, khi \( x_1 < x_2 \), ta có \( f(x_2) - f(x_1) \leq 0 \) hay \( f(x_1) \geq f(x_2) \). Điều này chứng tỏ rằng hàm số \( f(x) \) nghịch biến trên khoảng \( I \).

### Kết luận:
- Để hàm số \( f(x) \) đồng biến trên khoảng \( I \), điều kiện cần và đủ là \( f'(x) \geq 0 \) trên \( I \).
- Để hàm số \( f(x) \) nghịch biến trên khoảng \( I \), điều kiện cần và đủ là \( f'(x) \leq 0 \) trên \( I \).