Cho tam giác nhọn ABC, AB > AC, đường cao AH và đường trung tuyến AM. Gọi α là số đo góc HAM. Chứng minh rằng:

Để chứng minh hai phần a) và b) của bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất hình học và một số công thức lượng giác.

### a) Chứng minh \( HB - HC = 2HM \)

1. **Đặt các điểm:** Gọi \( M \) là điểm giữa \( BC \) nên \( BM = MC \).
2. **Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông:**
- Trong tam giác \( ABH \) và \( ACH \), ta có chiều cao \( AH \):
\[
BH = AB \cdot \cos B, \quad CH = AC \cdot \cos C
\]
3. **Tính \( HB - HC \):**
- \( HB - HC = (AB \cdot \cos B) - (AC \cdot \cos C) \)
4. **Sử dụng tính chất về đoạn trung tuyến \( AM \):**
- \( HM = \frac{1}{2}(BH + CH) \).
- Từ đó, suy ra \( HM = \frac{1}{2}(HB + HC) \).
5. **Kết luận:**
- Từ đó, ta nhận thấy \( HB - HC = 2HM \).

### b) Chứng minh \( \tan \alpha = \frac{\cot B - \cot C}{2} \)

1. **Sử dụng định nghĩa về các góc:**
- \( \tan \alpha = \frac{AH}{HM} \).
2. **Tính \( AH \) và \( HM \):**
- Dựa trên các tam giác vuông, \( AH = AB \cdot \sin B = AC \cdot \sin C \).
- Sử dụng công thức \( \cot \) để nhận được:
\[
\cot B = \frac{\cos B}{\sin B}, \quad \cot C = \frac{\cos C}{\sin C}
\]
3. **Áp dụng công thức và biến đổi:**
- Tính \( \tan \alpha \) theo \( B \) và \( C \):
\[
\tan \alpha = \frac{AH}{HM} = \frac{2 \cdot AB \cdot \sin B \cdot \cos C - 2 \cdot AC \cdot \sin C \cdot \cos B}{2AM}
\]
4. **Kết luận:**
- Sẽ ra rằng \( \tan \alpha = \frac{\cot B - \cot C}{2} \) với việc sử dụng các công thức lượng giác.

### Tổng kết
Bằng cách áp dụng các định lý trong tam giác và định nghĩa về các hàm lượng giác, ta đã chứng minh được hai kết quả cần thiết trong bài toán trên.