Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ hai tiếp tuyến Ax, By về cùng một phía với nửa đường tròn. Lấy điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn (O), tiếp tuyến tại M cắt Ax, By lần lượt tại C và D

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### Phần a
1. **Chứng minh AC + BD = OC \cdot OD / CD:**

- Bảy điểm A, C, D, B cùng nằm trên một đường tròn (đường tròn ngoại tiếp tam giác).
- Ta có:
- \( AC \) là tiếp tuyến tại điểm A.
- \( BD \) là tiếp tuyến tại điểm B.

Sử dụng định lý tiếp tuyến tạo ra các đoạn thẳng, kết hợp với tỉ số đoạn, ta chứng minh được:

\[
AC + BD = OC \cdot OD / CD
\]

2. **Chứng minh M, O, C, D cùng thuộc một đường tròn:**
- Xem xét điều kiện và đặc điểm của tứ giác MOCD.
- Ta cần chứng minh rằng:
- Tứ giác này có một tổng hai góc đối là 180° (hoặc có một bình diện với một đường tròn).
- Bằng cách sử dụng định lý góc trong đường tròn, ta chứng minh M, O, C, D cùng thuộc một đường tròn.

### Phần b
1. **Gọi N là giao điểm của BM và OD:**
- Phân tích các tam giác BMO và DNO.
- Dùng tính chất đường thẳng và tính chất mô đun của các góc để chứng minh.

2. **Chứng minh OD ⊥ BM và OP là tiếp tuyến đường tròn:**
- Sử dụng tính chất của đường tiếp tuyến.
- Ta có thể áp dụng công thức về chiều cao và tỷ lệ phần ắt.

### Phần 5
1. **Giải hệ phương trình:**
- **a)** Tìm x biết \( 2\sqrt{x+1} = x^2 - 4x - 2 \):
- Bình phương hai bên để loại bỏ căn, giải phương trình bậc hai thu được và tìm ra giá trị x.

2. **Chứng minh bất đẳng thức:**
- Cho \( a + b \geq 1 \):
- Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để chứng minh.
- Từ đó, rút ra kết luận về \( \frac{1}{a^2 + b^2} + \frac{3}{2ab} \geq 8 \).

Các bước giải này cần được triển khai chi tiết hơn, đảm bảo việc chứng minh đúng theo yêu cầu của bài toán.