Cho hình thang cân ABCD, với AB || CD và AB < CD. Gọi L là đối xứng của A qua BD. Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt CD tại K. Chứng minh DK = AB

Để chứng minh đề bài, ta sẽ thực hiện theo từng phần một.

### (a) Chứng minh DK = AB

1. **Xét Hình Thang Cân**: Gọi hình thang cân ABCD với AB || CD và AB < CD. Ta có:
- AD = BC (vì là hình thang cân).
- Giả sử H là chân đường cao từ B xuống CD, quan sát được BH ⊥ CD.

2. **Điểm đối xứng L**: Đặt L là điểm đối xứng của A qua BD. Khi đó, ta có AB = AL và BA = LB.

3. **Vẽ đường thẳng song song**: Kẻ đường thẳng từ B song song với AD và cắt CD tại điểm K. Ta có BK || AD.

4. **Sử dụng tính chất song song**:
- Vì BK || AD và AB || CD nên ta có hình chữ nhật ABKH.
- Như vậy, HK = AB (do BLKH là hình chữ nhật).

5. **Chứng minh DK = AB**:
- Ta có DK = KH (vì DA = BC = DH)
- Do đó, DK = AB.

### (b) Chứng minh tứ giác BDKL là hình thang cân

1. **Xét tứ giác BDKL**: Tứ giác BDKL với bên B và D.

2. **Chứng minh BDKL là hình thang**:
- Ta có DK // AB (xét từ tứ giác BDKL).
- Đồng thời, từ hình thang ABCD, AB || CD.

3. **Chứng minh BDKL là hình thang cân**:
- Từ các tính chất về đối xứng và đường thẳng song song, ta có các cạnh BK = DL (bởi tính chất của hình chữ nhật ABKH).
- Ta có AD = BC (vì là hình thang cân).

Vậy tứ giác BDKL thoả mãn các điều kiện của một hình thang cân với DK // AB và BK = DL.

Tổng kết lại:
- DK = AB
- Tứ giác BDKL là hình thang cân.