Cho tam giác ABC cân tại B có ∠B = 30°. Kẻ đường cao BH, trên BH lấy điểm D sao cho BD = AC. Chứng minh rằng tam giác ADC là tam giác đều

Để chứng minh tam giác ADC là tam giác đều, chúng ta tiến hành như sau:

1. **Đặt các thông tin ban đầu:**
- Gọi \( AB = AC = x \).
- Từ tính chất của tam giác cân và góc, ta có:
\[
BH = AB \cdot \sin(30^{\circ}) = x \cdot \frac{1}{2} = \frac{x}{2}
\]
- Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( ABH \):
\[
AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{x^2 - \left(\frac{x}{2}\right)^2} = \sqrt{x^2 - \frac{x^2}{4}} = \sqrt{\frac{3x^2}{4}} = \frac{x\sqrt{3}}{2}
\]

2. **Xác định điểm D:**
- Dựa theo đề bài, ta có \( BD = AC = x \), mà \( BH = \frac{x}{2} \).
- Do đó, \( BD = x \) và \( D \) nằm trên \( BH \), nên:
\[
BH + HD = BD \implies \frac{x}{2} + HD = x \implies HD = x - \frac{x}{2} = \frac{x}{2}
\]

3. **Tính độ dài các cạnh của tam giác ADC:**
- Ta có \( AD = AH + HD = \frac{x\sqrt{3}}{2} + \frac{x}{2} = \frac{x\sqrt{3}}{2} + \frac{x}{2}\)
- Tính \( AD \):
\[
AD = \frac{x\sqrt{3} + x}{2} = \frac{x(\sqrt{3} + 1)}{2}
\]
- \( AC = x \) và \( DC = x \)
- Do đó, \( AC = DC = AD = \frac{x(\sqrt{3} + 1)}{2} \)

4. **Kết luận:**
- Từ các bước trên, cả ba cạnh \( AD, AC, DC \) đều bằng nhau, nên \( \triangle ADC \) là tam giác đều.

Vậy ta đã chứng minh rằng tam giác ADC là tam giác đều.