Cho tam giác ABC, AB + AC = 18cm; A = 60. Tìm điều kiện để tam giác ABC có diện tích lớn nhất

Để tìm điều kiện cho tam giác \( ABC \) có diện tích lớn nhất với \( AB + AC = 18 \, \text{cm} \) và \( A = 60^\circ \), ta có thể sử dụng công thức tính diện tích của tam giác:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A
\]

Trong trường hợp này, \( A = 60^\circ \), nên \( \sin A = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Gọi \( AB = x \) và \( AC = 18 - x \). Diện tích của tam giác trở thành:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (18 - x) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

\[
S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot x(18 - x)
\]

Bây giờ, để tìm giá trị \( x \) mà diện tích \( S \) lớn nhất, ta cần tính đạo hàm \( S' \) và tìm điểm cực đại:

\[
S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (18x - x^2)
\]

\[
S' = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (18 - 2x)
\]

Đặt \( S' = 0 \):

\[
18 - 2x = 0 \implies x = 9
\]

Khi \( x = 9 \), thì \( AB = AC = 9 \, \text{cm} \). Điều này có nghĩa là \( AB = AC \) là điều kiện để diện tích của tam giác \( ABC \) đạt cực đại.

**Kết luận:** Để tam giác \( ABC \) có diện tích lớn nhất, \( AB \) và \( AC \) nên bằng nhau, tức là \( AB = AC = 9 \, \text{cm} \).