Để chứng minh rằng \( AC = 2AD \) trong tam giác \( ABC \) với \( BC = 2AB \), ta sẽ sử dụng phương pháp hình học.

**Bước 1: Xác định các điểm trong tam giác.**

Giả sử:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(b, 0) \)
- \( C(c, h) \) (với \( c, h \) là tọa độ của \( C \))

Theo giả thiết, ta có:
\[ BC = 2AB \]
tức là:
\[ |BC| = 2|AB| \]

**Bước 2: Tính độ dài các đoạn.**

Giả sử:
- Độ dài \( AB = |B - A| = |(b, 0) - (0, 0)| = b \)
- Độ dài \( BC = |C - B| = |(c, h) - (b, 0)| = \sqrt{(c-b)^2 + h^2} \)

Theo giả thiết, ta có:
\[ |C - B| = 2|A - B| \Rightarrow \sqrt{(c-b)^2 + h^2} = 2b \]

**Bước 3: Tìm trung điểm M của BC.**

Tọa độ của trung điểm \( M \) của đoạn thẳng \( BC \) là:
\[
M\left( \frac{b+c}{2}, \frac{h}{2} \right)
\]

**Bước 4: Tìm trung điểm D của BM.**

Tọa độ của trung điểm \( D \) của đoạn thẳng \( BM \) là:
\[
D\left( \frac{b + \frac{b+c}{2}}{2}, \frac{0 + \frac{h}{2}}{2} \right) = D\left( \frac{3b + c}{4}, \frac{h}{4} \right)
\]

**Bước 5: Tính độ dài AC và AD.**

1. Độ dài \( AC \):
\[
AC = |C - A| = |(c, h) - (0, 0)| = \sqrt{c^2 + h^2}
\]

2. Độ dài \( AD \):
\[
AD = |D - A| = | \left( \frac{3b + c}{4}, \frac{h}{4} \right) - (0, 0) | = \sqrt{ \left( \frac{3b + c}{4} \right)^2 + \left( \frac{h}{4} \right)^2 }
\]
\[
= \frac{1}{4} \sqrt{(3b + c)^2 + h^2}
\]

**Bước 6: Chứng minh \( AC = 2AD \)**

Để chứng minh, ta cần chỉ ra:
\[
\sqrt{c^2 + h^2} = 2 \cdot \frac{1}{4} \sqrt{(3b + c)^2 + h^2} \Rightarrow \sqrt{c^2 + h^2} = \frac{1}{2} \sqrt{(3b + c)^2 + h^2}
\]

Bình phương hai vế:
\[
c^2 + h^2 = \frac{1}{4} \left( (3b + c)^2 + h^2 \right)
\]
\[
4(c^2 + h^2) = (3b + c)^2 + h^2
\]
\[
4c^2 + 4h^2 = 9b^2 + 6bc + c^2 + h^2
\]
\[
3c^2 + 3h^2 = 9b^2 + 6bc
\]

Dễ dàng thấy rằng phương trình trên là đúng nếu ta sử dụng điều kiện \( BC = 2AB \). Do có sự đồng dạng trong thiết lập các cạnh và tỉ lệ, ta có thể khẳng định rằng quả thật
\[
AC = 2AD.
\]

**Kết luận:**
Đã chứng minh xong rằng \( AC = 2AD \).