Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán này, ta sẽ sử dụng các tính chất hình học của tứ giác và các đoạn thẳng trung điểm.

### a) Chứng minh \( MN \parallel AC\) và \( MN = \frac{1}{2}AC \)

1. **Đường trung bình**: Trong tứ giác \(ABCD\), \(M\) và \(N\) là trung điểm của \(AB\) và \(BC\), theo định lý đường trung bình, đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh của tứ giác sẽ song song với cạnh đối diện và bằng nửa độ dài của nó:
\[
MN \parallel AC
\]
\[
MN = \frac{1}{2}AC
\]

### b) Chứng minh \( MN \parallel PQ \) và \( MN = PQ \)

1. **Tương tự**: \(P\) và \(Q\) là trung điểm của \(CD\) và \(DA\). Theo định lý đường trung bình:
\[
PQ \parallel AC
\]
Do đó, vì \(MN \parallel AC\) và \(PQ \parallel AC\), ta có \( MN \parallel PQ \).

2. **Bằng nhau**: Tương tự như trên,
\[
MN = PQ
\]

### c) Chứng minh tứ giác \( MNPQ \) là hình bình hành

1. **Đã có**: Từ các kết luận trên, ta đã chứng minh được \( MN \parallel PQ \) và \( MN = PQ \).

2. **Tính chất hình bình hành**: Một tứ giác được gọi là hình bình hành nếu hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau. Do đó, với điều kiện đã chứng minh:
- \(MN \parallel PQ\)
- \(MN = PQ\)
- Tương tự cho hai cặp cạnh còn lại là \(MP\) và \(NQ\) (cũng là các cạnh nối các trung điểm), ta cũng có thể chứng minh rằng \(MP \parallel NQ\) và \(MP = NQ\).

Vì vậy, \(MNPQ\) là hình bình hành.

### Kết luận
Tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành với các đặc điểm trên.