Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau.

**a) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật.**

- Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên chúng ta có tam giác vuông \(AH\) (đường cao).

- Đường tròn \((I)\) có đường kính \(HB\) cắt cạnh \(AB\) tại \(D\). Theo tính chất của đường tròn, góc \(\angle HDB = 90^\circ\).

- Tương tự, đường tròn \((K)\) với đường kính \(HC\) cắt cạnh \(AC\) tại \(E\) cũng suy ra rằng \(\angle HEC = 90^\circ\).

- Nếu xét hai góc:
- \(\angle ADH = 90^\circ\) (vì \(D\) thuộc đường tròn đường kính \(HB\)),
- \(\angle AEH = 90^\circ\) (vì \(E\) thuộc đường tròn đường kính \(HC\)).

- Như vậy, ta có rằng \(AD \perp AH\) và \(AE \perp AH\), suy ra \(AD \parallel HE\) và \(AE \parallel DH\).

- Do đó, tứ giác \(ADHE\) có 4 góc vuông, nên là hình chữ nhật.

**b) Chứng minh \(AD \cdot AB = AE \cdot AC\).**

- Theo định lý sin trong tam giác \(ABH\) và \(ACH\):
\[
\frac{AD}{AB} = \sin(\angle AHB)
\]
\[
\frac{AE}{AC} = \sin(\angle AHC)
\]

- Vì \(AH\) là đường cao trong \(\Delta ABC\), ta có:
\[
\angle AHB + \angle AHC = 90^\circ
\]

- Do đó, \(\sin(\angle AHB) = \cos(\angle AHC)\) và \(\sin(\angle AHC) = \cos(\angle AHB)\).

- Vậy từ định lý sin:
\[
AD \cdot AC = AE \cdot AB
\]

- Suy ra, \(AD \cdot AB = AE \cdot AC\).

**c) Cho \(AB = 3 \text{cm}\), \(BC = 5 \text{cm}\). Tính \(DE\) và diện tích tứ giác \(DEKI\).**

- Theo tính chất của tam giác vuông, ta có:
\[
AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \text{cm}
\]

- Ở đây, \(D\) và \(E\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(HB\) và \(HC\), do đó \(DE\) có thể được tính bằng công thức Pythagoras trong tam giác \(DHE\):
\[
DE = \sqrt{AD^2 + AE^2}
\]
- Ta có
\[
AD = \frac{AB \cdot AC}{AH} \quad \text{và} \quad AE = \frac{AC \cdot AB}{AH}
\]

- Cần tính chiều cao \(AH\). Từ Pythagoras:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5} = 2.4 \text{cm}
\]

- Do đó, ta tiếp tục:
\[
AD = \frac{3 \cdot 4}{2.4} = 5 \text{cm} \quad \text{và} \quad AE = \frac{4 \cdot 3}{2.4} = 5 \text{cm}
\]
Do đó, \(DE\) được tính dễ dàng như sau:
\[
DE = \sqrt{AD^2 + AE^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \text{cm}
\]

- Cuối cùng, diện tích tứ giác \(DEKI\) có thể được tính bằng diện tích tổng các thành phần nó tạo thành, nhưng vì tứ giác \(DEKI\) là hình chữ nhật ta có chiều dài \(DE\) và chiều rộng \(AH\):
\[
S_{DEKI} = DE \cdot AH = 5\sqrt{2} \cdot 2.4 \approx 5 \times 1.414 \times 2.4 = 17.016 \text{cm}^2
\]

Tóm lại, ta đã chứng minh được các yếu tố cần thiết cho bài toán đã cho và tính được các đại lượng cần thiết cho phần c) theo yêu cầu.