Tính

Để tính tổng \(1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + 10^2\), chúng ta sử dụng công thức tổng bình phương của các số nguyên:

\[
\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\]

Với \(n = 10\), ta có:

\[
\sum_{k=1}^{10} k^2 = \frac{10(10+1)(2 \cdot 10 + 1)}{6} = \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} = \frac{2310}{6} = 385
\]

Đúng như đề bài đã cho.

Bây giờ, ta tính tổng \(2^2 + 4^2 + 6^2 + \ldots + 20^2\). Ta nhận thấy rằng đây là tổng của bình phương các số chẵn từ 2 đến 20.

Có thể viết lại tổng này như sau:

\[
2^2 + 4^2 + 6^2 + \ldots + 20^2 = (2 \cdot 1)^2 + (2 \cdot 2)^2 + (2 \cdot 3)^2 + \ldots + (2 \cdot 10)^2
\]

Khi đó, ta có thể lấy ra hằng số 2 ra ngoài:

\[
= 2^2 (1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + 10^2) = 4 \cdot \sum_{k=1}^{10} k^2
\]

Ta đã tính \(\sum_{k=1}^{10} k^2 = 385\), vậy:

\[
4 \cdot 385 = 1540
\]

Kết quả cuối cùng là:

\[
2^2 + 4^2 + 6^2 + \ldots + 20^2 = 1540
\]