Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán:

### a) \( 3^x + 2^x = 36 \)

Thử một số giá trị nguyên dương cho \( x \):

- \( x = 1: 3^1 + 2^1 = 3 + 2 = 5 \) (không đúng)
- \( x = 2: 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13 \) (không đúng)
- \( x = 3: 3^3 + 2^3 = 27 + 8 = 35 \) (gần đúng)
- \( x = 4: 3^4 + 2^4 = 81 + 16 = 97 \) (quá lớn)

Thử thêm giá trị \( x = 3.5 \):
- \( 3^{3.5} \approx 46.76 \) và \( 2^{3.5} \approx 11.31 \)

Khá gần, nhưng không nguyên. Do đó, không có giá trị nguyên nào thỏa mãn.

### b) \( 25^{2x} : 5^x = 125^2 \)

Biến đổi phương trình:
- \( 25^{2x} = (5^2)^{2x} = 5^{4x} \)
- \( 125^2 = (5^3)^2 = 5^6 \)

Phương trình trở thành:
\[
\frac{5^{4x}}{5^x} = 5^6 \implies 5^{4x - x} = 5^6 \implies 4x - x = 6 \implies 3x = 6 \implies x = 2
\]

### c) \( 3^x + 3^{x+2} = 9^{17} + 27^{12} \)

Biến đổi \( 9^{17} \) và \( 27^{12} \):
- \( 9 = 3^2 \) nên \( 9^{17} = (3^2)^{17} = 3^{34} \)
- \( 27 = 3^3 \) nên \( 27^{12} = (3^3)^{12} = 3^{36} \)

Phương trình trở thành:
\[
3^x + 3^{x+2} = 3^{34} + 3^{36}
\]
Rút gọn:
\[
3^x + 9 \cdot 3^x = 3^{34} + 3^{36} \implies 10 \cdot 3^x = 3^{34} + 3^{36}
\]
\[
10 \cdot 3^x = 3^{34}(1 + 3^2) = 3^{34} \cdot 10
\]
Chia hai vế:
\[
3^x = 3^{34} \implies x = 34
\]

### Kết quả:
- a) Không có \( x \in \mathbb{N} \)
- b) \( x = 2 \)
- c) \( x = 34 \)