Để giải bài toán chứng minh các đẳng thức trong tam giác ABC với các điểm D, E, F được xác định như trong đề bài, ta sẽ sử dụng các tính chất của trung điểm và một số tính toán hình học.

### Phân tích và chứng minh:

Cho tam giác ABC, với D là trung điểm của AB và E là trung điểm của AC.

1. **Chứng minh \( BD = CF \)**:

- D là trung điểm của AB, vậy ta có:
\[
AD = DB
\]

- E là trung điểm của AC, vậy ta có:
\[
AE = EC
\]

- Chúng ta sẽ vẽ điểm F sao cho E là trung điểm của DF. Khi đó, theo định nghĩa của trung điểm:
\[
DE = EF
\]

- Vì E là trung điểm nên có thể viết:
\[
DE = EF
\]

- Kết hợp với \( AD = DB \) và \( AE = EC \), ta có:
\[
BD + DE = AD + EF
\]
- Từ đó, suy ra \( BD = CF \).

2. **Chứng minh \( DE \parallel BC \) và \( DE = \frac{1}{2} BC \)**:

- Vì D, E là trung điểm của các cạnh, ta có thể sử dụng định lý trung điểm:
- Vector DE có thể được biểu diễn thông qua các vector AB và AC.
- Đồng thời, BC là cạnh đối diện với DE.

- Theo định lý trung điểm, ta có:
\[
DE \parallel BC
\]
- Hơn nữa, độ dài DE sẽ bằng một nửa độ dài BC:
\[
DE = \frac{1}{2} BC
\]

### Kết luận:

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \( BD = CF \) và \( DE \parallel BC \) với \( DE = \frac{1}{2} BC \).