Để chứng minh các định lý đã nêu, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a) Tâm của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền của tam giác đó.

**Chứng minh:**

Giả sử \( ABC \) là một tam giác vuông tại \( A \), trong đó \( AB \) và \( AC \) là hai cạnh góc vuông và \( BC \) là cạnh huyền.

Theo định nghĩa, tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABC \) là điểm giao nhau của các đường trung trực của các cạnh tam giác. Do tam giác \( ABC \) là tam giác vuông tại \( A \), ta chỉ cần xem xét đường trung trực của cạnh huyền \( BC \).

1. **Tính chất của cạnh huyền**: Trong tam giác vuông, cạnh huyền đối diện với góc vuông và có chiều dài lớn hơn hai cạnh còn lại. Theo định lý về cạnh huyền trong tam giác vuông, các điểm trên đường tròn ngoại tiếp sẽ có khoảng cách bằng từ trung điểm của cạnh huyền đến các đỉnh vuông.

2. **Xác định trung điểm**: Gọi \( M \) là trung điểm của cạnh huyền \( BC \). Ta có:
\[
M = \left( \frac{B_x + C_x}{2}, \frac{B_y + C_y}{2} \right)
\]

3. **Tính cạnh góc vuông**: Đối với tam giác vuông \( ABC \), khoảng cách từ \( M \) đến \( A \) sẽ bằng khoảng cách từ \( M \) đến \( B \) và từ \( M \) đến \( C \). Điều này thỏa mãn định nghĩa về tâm đường tròn ngoại tiếp.

4. **Kết luận**: Vậy \( M \) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABC \).

### b) Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn và ba đỉnh tam giác nằm trên đường tròn đó thì tam giác này là tam giác vuông.

**Chứng minh:**

Giả sử \( AB \) là đường kính của một đường tròn, và điểm \( C \) là một điểm nằm trên đường tròn đó.

1. **Xác định góc**: Theo định lý về góc tạo bởi đường kính, chúng ta có:
- Góc \( ACB \) được tạo ra bởi hai đoạn thẳng \( AC \) và \( BC \), trong đó \( A \) và \( B \) nằm trên đường kính.

2. **Tính chất góc**: Theo định lý, góc đối diện với đường kính trong một vòng tròn là góc vuông:
\[
\angle ACB = 90^\circ
\]

3. **Kết luận**: Do đó, tam giác \( ABC \) là tam giác vuông tại \( C \).

### Tổng kết:
- Định lý a) đã được chứng minh rằng tâm của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền.
- Định lý b) khẳng định rằng một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn và ba đỉnh nằm trên đường tròn đó sẽ là tam giác vuông.