Để tìm số tự nhiên \( n \) khác 0 thỏa mãn các điều kiện đã cho, ta sẽ xử lý từng phần theo thứ tự.

### a) \( n + 3 \mid n \)

Có nghĩa là \( n + 3 \) phải chia hết cho \( n \). Ta có thể viết:

\[
n + 3 = k \cdot n \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Suy ra:

\[
3 = (k - 1) \cdot n
\]

Từ đây, ta có \( n = \frac{3}{k - 1} \).

Để \( n \) là số tự nhiên, \( k - 1 \) cần phải là các yếu tố của 3. Các yếu tố của 3 là \( \pm 1, \pm 3 \).

1. Nếu \( k - 1 = 1 \), thì \( k = 2 \) và \( n = \frac{3}{1} = 3 \).
2. Nếu \( k - 1 = 3 \), thì \( k = 4 \) và \( n = \frac{3}{3} = 1 \).
3. Nếu \( k - 1 = -1 \), thì \( k = 0 \) và không hợp lệ vì \( n \) phải khác 0.
4. Nếu \( k - 1 = -3 \), thì \( k = -2 \) và không hợp lệ vì \( n \) không thể âm.

Vậy, \( n \) có thể nhận các giá trị:
\[
n = 1 \quad \text{hoặc} \quad n = 3
\]

### b) \( 2n + 6 \mid n \)

Có nghĩa là \( 2n + 6 \) phải chia hết cho \( n \). Ta có:

\[
2n + 6 = k \cdot n \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Suy ra:

\[
2n + 6 = kn \implies 2n + 6 - kn = 0 \implies (2 - k)n + 6 = 0
\]

Từ đó ta có:

\[
(2 - k)n = -6 \implies n = \frac{-6}{2 - k}
\]

Để \( n \) là số tự nhiên, \( 2 - k \) cần phải là các yếu tố của -6. Các yếu tố của -6 là \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \).

- Khi \( 2 - k = 1 \) thì \( k = 1 \) => \( n = \frac{-6}{1} = -6 \) (không hợp lệ).
- Khi \( 2 - k = 2 \) thì \( k = 0 \) => \( n = \frac{-6}{2} = -3 \) (không hợp lệ).
- Khi \( 2 - k = 3 \) thì \( k = -1 \) => \( n = \frac{-6}{3} = -2 \) (không hợp lệ).
- Khi \( 2 - k = 6 \) thì \( k = -4 \) => \( n = \frac{-6}{6} = -1 \) (không hợp lệ).
- Khi \( 2 - k = -1 \) thì \( k = 3 \) => \( n = \frac{-6}{-1} = 6 \).
- Khi \( 2 - k = -2 \) thì \( k = 4 \) => \( n = \frac{-6}{-2} = 3 \).
- Khi \( 2 - k = -3 \) thì \( k = 5 \) => \( n = \frac{-6}{-3} = 2 \).
- Khi \( 2 - k = -6 \) thì \( k = 8 \) => \( n = \frac{-6}{-6} = 1 \).

Như vậy, danh sách các giá trị của \( n \) là \( n = 1, 2, 3, 6 \).

### Kết quả
- a) \( n = 1 \) hoặc \( n = 3 \)
- b) \( n = 1, 2, 3, 6 \)