Để tính cạnh \( CM \) và góc \( BCM \) trong tam giác \( ABC \) với các thông tin đã cho, ta thực hiện các bước sau:

1. **Tính độ dài cạnh \( BC \)**:
Sử dụng định lý cosin, ta có:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle A)
\]

Thay các giá trị:
\[
AB = 12, \quad AC = 9.4, \quad \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}
\]
\[
BC^2 = 12^2 + 9.4^2 - 2 \cdot 12 \cdot 9.4 \cdot \frac{1}{2}
\]
\[
= 144 + 88.36 - 112.8 = 119.56
\]
\[
BC = \sqrt{119.56} \approx 10.9
\]

2. **Tính vị trí của điểm \( M \)**:
Gọi \( AM = x \), \( BM = y \). Theo đề bài, \( AM = 2BM \), tức là \( x = 2y \).
Ta có:
\[
x + y = 12 \quad \Rightarrow \quad 2y + y = 12 \quad \Rightarrow \quad 3y = 12 \quad \Rightarrow \quad y = 4
\]
Vậy:
\[
BM = 4 \quad \Rightarrow \quad AM = 8
\]

3. **Tính các tọa độ**:
Ta đặt \( A(0, 0) \), \( B(12, 0) \). Điểm \( C \) có thể tính từ tọa độ \( A \) và \( \angle A \):
- \( AC \):
\[
C_x = 9.4 \cos(60^\circ) = 9.4 \cdot 0.5 = 4.7
\]
\[
C_y = 9.4 \sin(60^\circ) = 9.4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 8.14
\]
Vậy tọa độ \( C(4.7, 8.14) \).

Điểm \( M \) theo tỉ lệ giữa \( 0 \) và \( 12 \):
\[
M(8, 0)
\]

4. **Tính độ dài \( CM \)**:
\[
CM = \sqrt{(C_x - M_x)^2 + (C_y - M_y)^2}
\]
\[
CM = \sqrt{(4.7 - 8)^2 + (8.14 - 0)^2}
\]
\[
= \sqrt{(-3.3)^2 + (8.14)^2} = \sqrt{10.89 + 66.4} = \sqrt{77.29} \approx 8.8
\]

5. **Tính góc \( BCM \)**:
Sử dụng công thức tang:
\[
\tan(\angle BCM) = \frac{C_y - B_y}{C_x - B_x} = \frac{8.14 - 0}{4.7 - 12} = \frac{8.14}{-7.3} \approx -1.113
\]
Từ đó:
\[
\angle BCM \approx \tan^{-1}(-1.113) \approx -48.37^\circ
\]
Thực tế góc \( BCM \) sẽ là:
\[
180^\circ - 48.37^\circ \approx 131.63^\circ \approx 131.6
\]

Vậy kết quả cuối cùng:
\[
CM \approx 8.8, \quad \angle BCM \approx 131.6^\circ
\]