Chúng ta sẽ giải bài toán theo từng phần như sau:

**a)** Chứng minh \( D, E \) lần lượt là trung điểm của \( AB, AC \).

1. Từ \( M \) là trung điểm của \( BC \), ta có \( MB = MC \).
2. Vì \( D \) là hình chiếu vuông góc của \( M \) trên \( AB \), nên \( MD \perp AB \).
3. Tương tự, \( E \) là hình chiếu vuông góc của \( M \) trên \( AC \), nên \( ME \perp AC \).
4. Gọi \( O \) là giao điểm của \( AB \) và \( AC \).
5. Do các tam giác vuông \( \triangle AMB \) và \( \triangle AMC \) có cạnh huyền \( AM \) chung và chiều cao từ \( M \) đến \( AB \) và \( AC \) cũng bằng nhau (cùng bằng \( MD \) và \( ME \)), nên \( \triangle AMB \cong \triangle AMC \).
6. Do đó, \( AD = AE \), tức là \( D, E \) là trung điểm của \( AB \) và \( AC \).

---

**b)** Chứng minh \( BDEM \) là hình bình hành.

1. Ta có \( BD \parallel ME \) (vì \( BD \perp AB \) và \( ME \perp AC \)).
2. Tương tự, \( DE \parallel BM \).
3. Vì \( D \) là trung điểm của \( AB \) và \( E \) là trung điểm của \( AC \), nên \( DE = BM \).
4. Từ đó, chúng ta có \( BD \parallel ME\) và \( DE \parallel BM \), cùng với việc \( BD = ME \) và \( DE = BM \).
5. Suy ra \( BDEM \) là hình bình hành.

---

**c)** Lấy \( N \) sao cho \( M \) là trung điểm của \( NE \). Hạ \( EK \perp BC \). Chứng minh \( AK \perp KN \).

1. Bởi vì \( M \) là trung điểm của \( NE \), nên \( NM = ME \).
2. Hình chiếu của \( E \) lên \( BC \) là \( K \), với \( EK \perp BC \).
3. Do \( D \) và \( E \) là trung điểm của \( AB \) và \( AC \) nên \( DE \) là đường trung bình của tam giác \( ABC \).
4. Từ tính chất đường trung bình, \( DE \parallel BC \) và \( AK \) cũng ngược lại.
5. Vì \( E \) là hình chiếu vuông góc của \( M \) lên \( AC \), và \( K \) là hình chiếu vuông góc của \( E \) lên \( BC \), ta có \( AK \perp KN \).

Vậy ta đã hoàn thành xong bài toán.