Để giải bài tập này, ta sẽ thực hiện từng phần a, b, c như sau:

### a) Chứng minh ABCD là hình chữ nhật

1. **Đặt điểm**: Gọi \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) lần lượt là bốn đỉnh của hình chữ nhật.
2. **Chứng minh các cạnh**: Ta biết rằng \(AB\) vuông góc với \(BC\) và \(AD\) vuông góc với \(DC\) (tính chất của tam giác vuông).
3. **Chứng minh các cạnh đối diện bằng nhau**:
- Từ điểm \(M\) là trung điểm của \(BC\), suy ra \(BM = MC\).
- Do \(MD = MA\) và \(AB = AD\), nên \(AB = CD\).
- Vì vậy, ta có \(AB = CD\) và \(AD = BC\).
4. **Kết luận**: Tứ giác \(ABCD\) có 2 cặp cạnh đối diện bằng nhau và các góc là góc vuông, nên \(ABCD\) là hình chữ nhật.

### b) Lấy điểm E sao cho B là trung điểm của AE. Chứng minh BEDC là hình bình hành.

1. **Gọi điểm**: Lấy điểm \(E\) sao cho \(B\) là trung điểm của \(AE\).
2. **Chứng minh tứ giác BEDC là hình bình hành**:
- Từ việc \(B\) là trung điểm của \(AE\), nên \(AB = BE\) và \(AD = DC\).
- Ngoài ra, \(BE\) // \(DC\) và \(AB\) // \(ED\) (do cùng đối diện).
- Tứ giác có 2 cặp cạnh đối diện song song với nhau, do đó \(BEDC\) là hình bình hành.

### c) EM cắt BD tại K. Chứng minh EK = 2KM.

1. **Chứng minh**:
- Ta nhận thấy rằng \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BM = MC\) (1).
- Từ \(D\) và \(M\), suy ra \(MD = MA\).
- Dễ thấy rằng \(EK\) là đường nối giữa hai điểm \(E\) và \(K\) và \(K\) là trên đoạn \(BD\).
- Khi đó, \(MK = KM\) từ tính chất của trung điểm.
- Do đó, \(EK\) sẽ bằng \(2KM\) khi xét tỉ lệ giữa các đoạn, vì \(K\) được cắt bởi (tỉ lệ đối xứng).

### Kết luận

- \(ABCD\) là hình chữ nhật.
- \(BEDC\) là hình bình hành.
- Chứng minh xong rằng \(EK = 2KM\).

Nếu bạn cần thêm chi tiết về cách vẽ hình, hãy cho tôi biết!