Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ HD vuông góc với AB, HE vuông góc với AC (D thuộc AB, E thuộc AC)

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một cách tuần tự.

### a. Chứng minh: góc C = góc ADE

1. **Xác định các yếu tố trong tam giác**:
- Tam giác ABC vuông tại A, do đó \( \angle CAB = 90^\circ \).
- HD vuông góc với AB, HE vuông góc với AC.
- D thuộc AB và E thuộc AC.

2. **Xét các tam giác**:
- Xét tam giác AED:
- \( \angle AED = \angle ACB \) (vì HE vuông góc với AC).
- Tương tự, xét tam giác ACD:
- \( \angle ACD = \angle ABC \) (vì HD vuông góc với AB).

3. **Sử dụng tính chất của tam giác vuông**:
- Trong tam giác vuông ABC:
- Ta có \( \angle C = \angle ABC \).
- Do \( \angle ADE \) và \( \angle ACB \) là hai góc tương ứng trong tam giác AED và ACB vuông, nên \( \angle C = \angle ADE \).

### b. Chứng minh: AM vuông góc với DE

1. **Xác định M là trung điểm của BC**:
- Gọi O là giao điểm của các đường cao H từ A và D. M là trung điểm của BC thì AM là đường trung tuyến trong tam giác ABC.

2. **Sử dụng tính chất của đường trung tuyến**:
- Trong tam giác vuông và đường cao, AM sẽ vuông góc với DE, vì DE là một đoạn thẳng kết nối hai điểm thuộc các cạnh vuông góc của tam giác vuông.

3. **Sử dụng định lý Pythagore**:
- Xét hai tam giác ADE và AME, AM là trung tuyến cắt DE tại một điểm (G) vuông góc, do đó tứ giác AMED là tứ giác vuông.
- Đoạn thẳng DE có chiều cao vuông góc với các cạnh còn lại nên AM sẽ vuông góc với DE.

Kết luận: \( AM \) vuông góc với \( DE \).

Vậy ta đã hoàn thành chứng minh của cả hai phần a và b.