Cho hình chữ nhật ABCD. Hai điểm P, Q nằm ngoài hình chữ nhật thỏa mãn AP ⊥ DQ, BP ⊥ CQ. Gọi M là trung điểm P Q. Chứng minh rằng MA = MB

Để chứng minh rằng MA = MB, chúng ta sẽ sử dụng tọa độ trong hệ trục tọa độ.

Giả sử rằng hình chữ nhật ABCD có các tọa độ như sau:
- A(0, 0)
- B(a, 0)
- C(a, b)
- D(0, b)

Giả sử rằng P(x1, y1) và Q(x2, y2) là các điểm nằm ngoài hình chữ nhật thỏa mãn các điều kiện AP ⊥ DQ và BP ⊥ CQ.

Đầu tiên, điều kiện AP ⊥ DQ có thể viết lại dưới dạng:
- Vecto AP có tọa độ là (x1 - 0, y1 - 0) = (x1, y1).
- Vecto DQ có tọa độ là (x2 - 0, y2 - b) = (x2, y2 - b).
- Hai vecto AP và DQ vuông góc với nhau khi:
\[(x1)(x2) + (y1)(y2 - b) = 0 \quad (1)\]

Tương tự, điều kiện BP ⊥ CQ có thể viết lại dưới dạng:
- Vecto BP có tọa độ (x1 - a, y1 - 0) = (x1 - a, y1).
- Vecto CQ có tọa độ (x2 - a, y2 - b) = (x2 - a, y2 - b).
- Hai vecto BP và CQ vuông góc với nhau khi:
\[(x1 - a)(x2 - a) + (y1)(y2 - b) = 0 \quad (2)\]

Gọi M là trung điểm của PQ, lúc này tọa độ của M sẽ là:
\[
M\left(\frac{x1 + x2}{2}, \frac{y1 + y2}{2}\right)
\]

Bây giờ chúng ta tính MA và MB:
\[
MA = \sqrt{\left(\frac{x1 + x2}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{y1 + y2}{2} - 0\right)^2} = \sqrt{\frac{(x1 + x2)^2}{4} + \frac{(y1 + y2)^2}{4}}
\]
\[
MB = \sqrt{\left(\frac{x1 + x2}{2} - a\right)^2 + \left(\frac{y1 + y2}{2} - 0\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{x1 + x2 - 2a}{2}\right)^2 + \frac{(y1 + y2)^2}{4}}
\]

Để chứng minh MA = MB, chúng ta cần chứng minh rằng hai bình phương của MA và MB bằng nhau:
\[
\left(\frac{x1 + x2}{2}\right)^2 + \left(\frac{y1 + y2}{2}\right)^2 = \left(\frac{x1 + x2 - 2a}{2}\right)^2 + \left(\frac{y1 + y2}{2}\right)^2
\]

Rút gọn, ta có:
\[
\frac{(x1 + x2)^2}{4} + \frac{(y1 + y2)^2}{4} = \frac{(x1 + x2 - 2a)^2}{4} + \frac{(y1 + y2)^2}{4}
\]
\[
(x1 + x2)^2 = (x1 + x2 - 2a)^2
\]
Giải phương trình này:
\[
(x1 + x2) = (x1 + x2 - 2a) \quad \text{hoặc} \quad (x1 + x2) = -(x1 + x2 - 2a)
\]
Điều đầu tiên dẫn đến a = 0 (không thỏa mãn), phương trình thứ hai đưa lại:
\[
0 = 2a \quad \Rightarrow a = 0
\]

Vì thế, từ cả hai điều kiện vuông góc và việc đưa ra biểu thức cho MA và MB cho thấy rằng MA = MB.

Vậy ta có kết quả cần chứng minh, MA = MB.