Bài toán bạn cung cấp yêu cầu chứng minh cho tứ giác ABCD với điều kiện \( AB = AD \) và \( BC = AD \).

### a) Chứng minh rằng \( BD = AC \)
Để chứng minh \( BD = AC \), ta có thể áp dụng định lý về tứ giác. Nếu \( AB = AD \) và \( BC = CD \), từ đó có thể rút ra các tính chất hình học liên quan đến tâm đối xứng hoặc các góc tương ứng.

### b) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân
Để chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thang cân, bạn cần chứng minh một trong hai cặp cạnh đối diện của nó là song song và có độ dài bằng nhau. Đối với tứ giác này, nếu \( AB = AD \) và \( BC = CD \), điều đó có thể giúp dẫn đến kết luận tứ giác này là hình thang cân.

### Cách tiến hành cụ thể:
1. **Sử dụng tính chất của các cạnh**: Bạn có thể sử dụng định nghĩa của tứ giác để chỉ ra rằng \( AB \parallel CD \) và \( BC \parallel AD \) hoặc sử dụng các góc ở các đỉnh A, B, C, D để chứng minh rằng nó thỏa mãn các điều kiện của hình thang.

2. **Sử dụng hệ quy chiếu hoặc tọa độ**: Nếu bạn sử dụng tọa độ cho các điểm A, B, C, D, bạn có thể tính toán độ dài các đoạn thẳng và đưa ra các bằng chứng hình học.

Hy vọng những gợi ý trên sẽ giúp bạn hoàn thành bài toán. Nếu bạn cần thêm thông tin chi tiết, hãy cho tôi biết!