Chúng ta sẽ chứng minh đẳng thức \( (x + y)^3 - (x - y)^3 = 2y(3x^2 + y^2) \) bằng cách sử dụng định nghĩa khai triển của các biểu thức lập phương.

Bước 1: Khai triển hai vế của đẳng thức.

- Khai triển \( (x + y)^3 \):
\[
(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3
\]

- Khai triển \( (x - y)^3 \):
\[
(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3
\]

Bước 2: Tính hiệu của hai khai triển trên:
\[
(x + y)^3 - (x - y)^3 = \left(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\right) - \left(x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3\right)
\]

Bước 3: Đơn giản hóa biểu thức:
\[
= x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 - x^3 + 3x^2y - 3xy^2 + y^3
\]

Khi cộng các hạng tử tương ứng lại, ta có:
\[
= 6x^2y + 2y^3
\]

Bước 4: Rút gọn biểu thức vừa tính được:
\[
= 2y(3x^2 + y^2)
\]

Như vậy, chúng ta đã có:
\[
(x + y)^3 - (x - y)^3 = 2y(3x^2 + y^2)
\]

Kết luận:
Đẳng thức đã được chứng minh, đó là:
\[
(x + y)^3 - (x - y)^3 = 2y(3x^2 + y^2)
\]