Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức M = (3 - 4x)/(x ^ 2 + 1)

Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của phân thức \( M = \frac{3 - 4x}{x^2 + 1} \), ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm.

Đầu tiên, xác định miền xác định của hàm số. Phân thức \( M \) đã cho là xác định cho mọi \( x \) thuộc tập số thực.

Bây giờ, chúng ta sẽ tính đạo hàm của \( M \):

\[
M' = \frac{(x^2 + 1)(-4) - (3 - 4x)(2x)}{(x^2 + 1)^2}
\]

Sắp xếp lại đạo hàm:

\[
M' = \frac{-4(x^2 + 1) - (3 - 4x)(2x)}{(x^2 + 1)^2}
\]

Tiến hành khai triển và đơn giản hóa biểu thức trên:

\[
M' = \frac{-4x^2 - 4 - 6x + 8x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4x^2 - 6x - 4}{(x^2 + 1)^2}
\]

Để tìm các điểm cực trị, ta cần giải phương trình \( M' = 0 \):

\[
4x^2 - 6x - 4 = 0
\]

Giải phương trình này bằng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4)}}{2 \cdot 4} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 64}}{8} = \frac{6 \pm 10}{8}
\]

Từ đó, ta có hai nghiệm:

\[
x_1 = \frac{16}{8} = 2, \quad x_2 = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ tính giá trị của \( M \) tại các điểm này.

1. Tính \( M(2) \):

\[
M(2) = \frac{3 - 4 \cdot 2}{2^2 + 1} = \frac{3 - 8}{4 + 1} = \frac{-5}{5} = -1
\]

2. Tính \( M\left(-\frac{1}{2}\right) \):

\[
M\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{3 - 4\left(-\frac{1}{2}\right)}{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 1} = \frac{3 + 2}{\frac{1}{4} + 1} = \frac{5}{\frac{5}{4}} = 4
\]

Cuối cùng, để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \( M \):

- Giá trị lớn nhất là \( M\left(-\frac{1}{2}\right) = 4 \)
- Giá trị nhỏ nhất là \( M(2) = -1 \)

Vậy ta có:

- Giá trị lớn nhất: \( 4 \)
- Giá trị nhỏ nhất: \( -1 \)