Tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của A

Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \( AA = 4x^2 + 9y^2 - 12x - 32y - 2xy + 45 \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương và hình học.

Đầu tiên, chúng ta có thể viết lại \( AA \) dưới dạng ma trận. Biểu thức có thể được viết lại dưới dạng \( \mathbf{z}^T \mathbf{A} \mathbf{z} + \mathbf{b}^T \mathbf{z} + c \), với:
\[
\mathbf{z} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \quad \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -1 & 9 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} -12 \\ -32 \end{pmatrix}, \quad c = 45.
\]

Trước tiên, ta kiểm tra định thức của ma trận \(\mathbf{A}\):
\[
\text{det}(\mathbf{A}) = 4 \cdot 9 - (-1)(-1) = 36 - 1 = 35 > 0.
\]
Do đó, ma trận \(\mathbf{A}\) dương xác định, nghĩa là biểu thức \( AA \) sẽ có giá trị nhỏ nhất.

Chúng ta sẽ tìm nghiệm của phương trình đạo hàm đầu tiên để tìm điểm cực trị:
\[
\nabla AA = \begin{pmatrix} \frac{\partial AA}{\partial x} \\ \frac{\partial AA}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8x - 12 - 2y \\ 18y - 32 - 2x \end{pmatrix}.
\]

Giải hệ phương trình:
1. \( 8x - 12 - 2y = 0 \)
2. \( 18y - 32 - 2x = 0 \)

Từ phương trình (1), ta có:
\[
2y = 8x - 12 \implies y = 4x - 6.
\]

Thay vào phương trình (2):
\[
18(4x - 6) - 32 - 2x = 0,
\]
\[
72x - 108 - 32 - 2x = 0 \implies 70x - 140 = 0 \implies x = 2.
\]

Thay giá trị \( x = 2 \) vào biểu thức để tìm \( y \):
\[
y = 4(2) - 6 = 2.
\]

Vậy, điểm cực trị là \( (2, 2) \). Ta sẽ tính giá trị của \( AA \) tại điểm này:
\[
AA(2, 2) = 4(2)^2 + 9(2)^2 - 12(2) - 32(2) - 2(2)(2) + 45.
\]
Tính từng thành phần:
\[
= 4(4) + 9(4) - 24 - 64 - 8 + 45,
\]
\[
= 16 + 36 - 24 - 64 - 8 + 45,
\]
\[
= 16 + 36 + 45 - 24 - 64 - 8 = 45 - 56 = -11.
\]

Do đó, giá trị nhỏ nhất của AA là \(-11\).

Vì ma trận \( A \) là dương xác định, không tồn tại giá trị lớn nhất của \( AA \), nó sẽ tăng không giới hạn.

Tóm lại:
- Giá trị nhỏ nhất của \( AA \) là \(-11\).
- Không có giá trị lớn nhất của \( AA \).