Tìm a, b, c biết f(x) = ax^3 + bx^2 + c chia hết cho x + 2 và chia cho x^2 - 1 dư x + 5

Để tìm các hệ số \( a \), \( b \), \( c \) của đa thức \( f(x) = ax^3 + bx^2 + c \) sao cho:

1. \( f(x) \) chia hết cho \( x + 2 \).
2. \( f(x) \) chia cho \( x^2 - 1 \) dư \( x + 5 \).

### Bước 1: Tính điều kiện chia hết cho \( x + 2 \)

Để \( f(x) \) chia hết cho \( x + 2 \), điều kiện là \( f(-2) = 0 \).

Tính giá trị \( f(-2) \):
\[
f(-2) = a(-2)^3 + b(-2)^2 + c = -8a + 4b + c
\]

Vì \( f(-2) = 0 \), ta có phương trình:
\[
-8a + 4b + c = 0 \quad (1)
\]

### Bước 2: Tính điều kiện chia dư cho \( x^2 - 1 \)

Chia một đa thức cho \( x^2 - 1 \) (có thể viết là \( (x - 1)(x + 1) \)), ta có dư là một đa thức bậc nhỏ hơn 2. Do đó, dạng của dư là:
\[
f(x) = (x^2 - 1)Q(x) + (x + 5)
\]

Vì \( f(x) - (x + 5) \) chia hết cho \( x^2 - 1 \), ta cần tính \( f(1) \) và \( f(-1) \):
1. \( f(1) = 1 + 5 = 6 \)
2. \( f(-1) = -1 + 5 = 4 \)

Tính \( f(1) \):
\[
f(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + c = a + b + c
\]
Ta có phương trình:
\[
a + b + c = 6 \quad (2)
\]

Tính \( f(-1) \):
\[
f(-1) = a(-1)^3 + b(-1)^2 + c = -a + b + c
\]
Ta có phương trình:
\[
-a + b + c = 4 \quad (3)
\]

### Bước 3: Giải hệ phương trình

Giờ ta giải ba phương trình (1), (2), (3):

1. Từ phương trình (1):
\[
c = 8a - 4b
\]

2. Thay \( c \) vào (2):
\[
a + b + (8a - 4b) = 6 \implies 9a - 3b = 6 \implies 3a - b = 2 \quad (4)
\]

3. Thay \( c \) vào (3):
\[
-a + b + (8a - 4b) = 4 \implies 7a - 3b = 4 \quad (5)
\]

### Bước 4: Giải hệ (4) và (5)

Giải hệ phương trình (4) và (5):
- Từ (4):
\[
b = 3a - 2
\]

- Thay vào (5):
\[
7a - 3(3a - 2) = 4 \implies 7a - 9a + 6 = 4 \implies -2a + 6 = 4 \implies -2a = -2 \implies a = 1
\]

- Thay \( a = 1 \) vào (4):
\[
3(1) - b = 2 \implies b = 1
\]

- Thay \( a = 1 \) và \( b = 1 \) vào (1) để tìm \( c \):
\[
-8(1) + 4(1) + c = 0 \implies -8 + 4 + c = 0 \implies c = 4
\]

### Kết luận

Vậy các hệ số là:
\[
a = 1, \quad b = 1, \quad c = 4
\]

Vậy \( f(x) = x^3 + x^2 + 4 \).