Để tính A và tìm \( a \in \mathbb{Z} \) sao cho \( A \in \mathbb{Z} \), ta thực hiện theo hai bước:

### Bước a: Rút gọn A

Biểu thức của A là:

\[
A = \frac{(a\sqrt{a} - 1)(\frac{a\sqrt{a}+1}{a+\sqrt{a}})}{\frac{a+2}{a-2}}
\]

Ta bắt đầu rút gọn tử và mẫu của biểu thức.

#### Tử:
\[
Tử = (a\sqrt{a} - 1)(\frac{a\sqrt{a}+1}{a+\sqrt{a}})
\]
Ta có thể nhân hai biểu thức này lại với nhau.

#### Mẫu:
\[
Mẫu = \frac{a+2}{a-2}
\]

Sau khi thực hiện phép nhân và rút gọn, ta sẽ có được một biểu thức đơn giản hơn cho A.

### Bước b: Tìm \( a \in \mathbb{Z} \) để \( A \in \mathbb{Z} \)

Sau khi rút gọn A, chúng ta cần tìm các giá trị của \( a \) sao cho A là số nguyên.

- Xem xét các giá trị nguyên của \( a \) khác nhau để kiểm tra xem giá trị của A có là số nguyên hay không.
- Một cách đơn giản là thử với một số giá trị nguyên như \( a = -1, 0, 1, 2, 3, \) và xem có giá trị nào thỏa mãn.

Khi tìm \( a \), đảm bảo rằng \( a \neq 2 \) để tránh chia cho 0 trong mẫu.

Sau khi hoàn tất các bước này, sẽ có các giá trị của \( a \) mà ta cần tìm. Nếu cần, ta có thể tính thêm một vài trường hợp cụ thể để tìm ra giá trị phù hợp.