Đầu tiên, ta có tam giác ABC với góc \( A = 60^\circ \) và BD là đường phân giác của góc B. Gọi điểm I là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác ABC.

### a. Chứng minh CI là đường phân giác của tam giác ABC

Để chứng minh CI là đường phân giác của tam giác ABC, chúng ta có thể sử dụng tính chất của các đường phân giác. Theo định nghĩa, I là trọng tâm của tam giác, tức là giao điểm của các đường phân giác.

Ta có:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BI}{CI} = \frac{AI}{DI}
\]

Bởi vì BD là đường phân giác của góc B, ta có:

\[
\frac{AB}{BC} = \frac{AI}{DI}
\]

Do đó, CI cũng phải là đường phân giác của góc A.

### b. Tính số đo của góc BIC

Theo định lý về góc ở nội vi tam giác, số đo góc BIC được tính bằng công thức:

\[
\angle BIC = 90^\circ + \frac{A}{2}
\]

Thay \( A = 60^\circ \):

\[
\angle BIC = 90^\circ + \frac{60^\circ}{2} = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ
\]

### c. Kéo dài CI cắt AB ở E. Tính số đo góc BIE và góc CID

Khi CI kéo dài cắt AB tại điểm E, ta có thể sử dụng tính chất của các góc trong tam giác để xác định các góc này.

Sử dụng định lý về tổng các góc trong tam giác tại điểm I, ta có:

\[
\angle BIE + \angle BIC + \angle AIB = 180^\circ
\]

Vì \( \angle BIC = 120^\circ \) và \( \angle AIB = 90^\circ - \frac{C}{2} \):

\[
\angle BIE = 180^\circ - 120^\circ - (90^\circ - \frac{C}{2})
= \frac{C}{2} - 30^\circ
\]

Còn về góc CID:

\[
\angle CID = 90^\circ - \frac{B}{2}
\]

### d. Tia phân giác của góc BIC cắt BC ở F. Chứng minh: IE = IF = ID

Bởi vì F là đấu điểm trên BC, theo định nghĩa và tính chất của đường phân giác trong tam giác, chúng ta có thể thiết lập:

\[
\frac{BI}{IC} = \frac{BF}{FC}
\]

Do đó, vì mọi đoạn IF và IE đều là độ dài của đường phân giác, ta có:

\[
IE = IF = ID
\]

Bằng cách này, mọi đoạn đều cân bằng nhau, chứng tỏ rằng IE, IF và ID đều bằng nhau.

Hy vọng những giải thích trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về các tính chất của tam giác và các đường phân giác.