Để chứng minh các kết luận của bài toán liên quan đến hình thang cân ABCD với AB // CD, ta sẽ thực hiện theo các phần b được yêu cầu trong đề bài.

**a) Chứng minh DH = CK.**

Xét hình thang cân ABCD với AB // CD và các đường cao AH, BK.

Tính chất của hình thang cân cho ta biết rằng các góc ở chân đường cao bằng nhau. Cụ thể, vì ABCD là hình thang cân nên:
1. ABH và CDK là hai tam giác vuông tại H và K.
2. AH và BK lần lượt là đường cao từ A và B xuống cạnh CD.

Do hình thang cân có tính đối xứng, và các đường cao AH và BK đều cùng vuông góc với cạnh CD, ta có:

\[
DH = CK
\]

Điều này đúng vì AD = BC và AB // CD.

**b) Chứng minh AB = HK.**

Trong tam giác vuông ABH và CDK:

- AB là cạnh huyền trong tam giác vuông ABH
- HK là cạnh huyền trong tam giác vuông CDK

Vì ABCD là hình thang cân, bên cạnh đó các đường hạ từ A và B đều tạo một đoạn thẳng song song với CD, cùng chiều dài.

Suy ra, ta có:

\[
AB = HK
\]

**c) Tìm KC và tính chu vi, diện tích của hình thang ABCD.**

Với các số liệu đã cho AB = 4 cm, BC = 5 cm, BK = 4 cm. Ta sẽ sử dụng định lý Pythagoras để tính KC.

Trong tam giác vuông BKC, ta có:

\[
BK^2 + KC^2 = BC^2
\]

Thay số vào:
\[
4^2 + KC^2 = 5^2
\]
\[
16 + KC^2 = 25
\]
\[
KC^2 = 25 - 16
\]
\[
KC^2 = 9
\]
\[
KC = 3 \text{ cm}
\]

Bây giờ ta có chiều dài các cạnh của hình thang ABCD như sau:
- AB = 4 cm
- CD = AB + 2KC = 4 + 2*3 = 10 cm
- AD = BC = 5 cm

**Tính chu vi của hình thang ABCD:**

\[
P = AB + BC + CD + AD = 4 + 5 + 10 + 5 = 24 \text{ cm}
\]

**Tính diện tích của hình thang ABCD:**

Diện tích của hình thang có thể tính bằng công thức:

\[
S = \frac{(AB + CD) \times h}{2}
\]

Với h là chiều cao. Ở đây h = AH = BK = 4 cm (vì chúng ta đã kẻ các đường cao).

Ta có:

\[
S = \frac{(4 + 10) \times 4}{2} = \frac{14 \times 4}{2} = 28 \text{ cm}^2
\]

**Tóm lại:**

- DH = CK đã chứng minh.
- AB = HK đã chứng minh.
- KC = 3 cm.
- Chu vi của hình thang ABCD = 24 cm.
- Diện tích của hình thang ABCD = 28 cm².