Tìm số nguyên x để x² - x + 2 chia hết cho x - 2 ( x thuộc Z )

Để tìm số nguyên \( x \) sao cho \( x^2 - x + 2 \) chia hết cho \( x - 2 \), chúng ta sẽ sử dụng định lý dư.

Theo định lý dư, nếu \( P(x) \) là một đa thức, thì \( P(a) \) sẽ là dư của \( P(x) \) khi chia cho \( x - a \). Ở đây, chúng ta cần tính \( P(2) \), với \( P(x) = x^2 - x + 2 \).

Tính giá trị của \( P(2) \):

\[
P(2) = 2^2 - 2 + 2 = 4 - 2 + 2 = 4
\]

Chúng ta muốn \( P(x) \) chia hết cho \( x - 2 \), tức là \( P(2) \) phải bằng 0:

\[
P(2) = 4 \quad (\text{sai, không chia hết})
\]

Vậy, \( P(x) \) không chia hết cho \( x-2 \) với \( x = 2 \). Để \( P(x) \) chia hết cho \( x - 2 \), ta cần \( P(x) = k(x - 2) \) cho một số nguyên \( k \).

Giờ ta sẽ xét điều kiện \( x^2 - x + 2 - k(x - 2) = 0 \):

\[
x^2 - (1 + k)x + (2 + 2k) = 0
\]

Phương trình này có nghiệm nguyên nếu và chỉ nếu:
\((1 + k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 + 2k) \geq 0\).

Giải bất phương trình:

\[
(1 + k)^2 - 8 - 8k \geq 0
\]

\[
k^2 - 6k - 7 \geq 0
\]

Giải phương trình bậc 2:

\[
k = \frac{6 \pm \sqrt{6^2 + 4 \cdot 7}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{6 \pm 8}{2}
\]

Ta tìm được hai giá trị của \( k \):

1. \( k = 7 \)
2. \( k = -1 \)

Thay \( k = 7 \):

\[
x^2 - 8x + 16 = 0 \implies (x - 4)^2 = 0 \implies x = 4
\]

Thay \( k = -1 \):

\[
x^2 - 0x + 0 = 0 \implies x(x) = 0 \implies x = 0
\]

Vậy các giá trị nguyên của \( x \) thỏa mãn điều kiện là \( x = 4 \) và \( x = 0 \).