Để giải bài tập này, ta sẽ lần lượt giải từng câu a, b, c như sau:

### a. Chứng minh: ΔAHD ∼ ΔDCB.

**Giải:**
1. Xét tam giác ABD và tam giác DCB.
2. Ta có:
- Góc ABD bằng góc DCB (góc chung).
- Góc AHD bằng góc DCB (góc vuông).
3. Suy ra, ΔAHD ~ ΔDCB (Sử dụng tiêu chí góc-góc).

### b. Chứng minh: AB² = BH · BD.

**Giải:**
1. Từ tỉ lệ trong hai tam giác đồng dạng ΔAHD ∼ ΔDCB, ta có:
\[
\frac{AH}{DC} = \frac{AD}{BC}
\]
2. Vì AB = 3 cm và hiện đáng là chiều dài, ta có AH = BC = 4 cm, AD = 3 cm.
3. Suy ra:
\[
AB^2 = AH \cdot AD
\]
4. Do đó, AB² = BH · BD vì BH = AH và BD = AD.

### c. Tính độ dài: BH, AH.

**Giải:**
1. Tính độ dài AH:
- Theo công thức diện tích tam giác:
\[
S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AH
\]
- S = 6 cm² (do ABCD là hình chữ nhật).
- Suy ra:
\[
6 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot AH \implies AH = 4 \text{ cm}
\]

2. Để tính BH, ta sử dụng tỉ lệ trong tam giác đồng dạng:
- Do AHD ~ DCB, ta có:
\[
\frac{BH}{AH} = \frac{AB}{BC} \implies BH = AH \cdot \frac{AB}{BC}
\]
- Thay số vào:
\[
BH = 4 \cdot \frac{3}{4} = 3 \text{ cm}
\]

Vậy:
- AH = 4 cm
- BH = 3 cm.