Sử dụng tính chất \(|a+b| \leq |a| + |b|\) (với mọi số thực \(a, b\)), giải thích vì sao không có số thực \(x\) nào thoả mãn \(|x-7| + |x-5| = \sqrt{31}\)

Để chứng minh rằng không có số thực \(x\) nào thoả mãn phương trình \(|x-7| + |x-5| = \sqrt{31}\), ta sẽ sử dụng tính chất bất đẳng thức của giá trị tuyệt đối.

Bất đẳng thức cho biết rằng:

\[
|a + b| \leq |a| + |b|
\]

Áp dụng vào bài toán, ta đặt \(a = x - 7\) và \(b = x - 5\). Khi đó, ta có:

\[
|x - 7| + |x - 5| = |(x - 7) + (x - 5)| + |x - 5|
\]
\[
= |2x - 12| + |x - 5|
\]

Trước tiên, ta tính giá trị tối thiểu của \(|x - 7| + |x - 5|\) bằng cách xét các trường hợp về giá trị của \(x\).

1. **Nếu \(x \leq 5\)**:
\[
|x - 7| + |x - 5| = (7 - x) + (5 - x) = 12 - 2x
\]

2. **Nếu \(5 < x < 7\)**:
\[
|x - 7| + |x - 5| = (7 - x) + (x - 5) = 2
\]

3. **Nếu \(x \geq 7\)**:
\[
|x - 7| + |x - 5| = (x - 7) + (x - 5) = 2x - 12
\]

Bây giờ, ta phân tích các giá trị tối thiểu của biểu thức:

- **Trường hợp 1**: \(12 - 2x\) đạt giá trị tối đa bằng 12 khi \(x = 0\) (ở ngoài khoảng này) và giảm xuống khi \(x\) tăng.
- **Trường hợp 2**: Giá trị \(|x - 7| + |x - 5| = 2\).
- **Trường hợp 3**: \(2x - 12\) bắt đầu từ 0 tại \(x = 6\) và tăng lên khi \(x\) tăng.

Mỗi trường hợp cho thấy:

- Với trường hợp 1 và 3, giá trị của \(|x - 7| + |x - 5|\) tối đa có thể đạt đến là 12, còn khi xét trường hợp 2 thì nó chỉ bằng 2.

Và bởi vì \( \sqrt{31} \approx 5.57\) lớn hơn 12, ta kết luận rằng không có số thực \(x\) nào thoả mãn \(|x - 7| + |x - 5| = \sqrt{31}\).

Vì vậy, không có số thực nào thoả mãn phương trình \(|x-7| + |x-5| = \sqrt{31}\).