Để chứng minh hai phần của bài toán, chúng ta sẽ làm theo từng phần một.

### a) Chứng minh: \( E \) là trực tâm của tam giác \( DBH \)

- Gọi \( O \) là giao điểm của hai đường thẳng \( AB \) và \( AC \) (chúng giao nhau tại \( A \)).
- Ta có \( H \) là trực tâm của tam giác \( ABC \), tức là \( H \) là giao điểm của ba đường cao của tam giác \( ABC \).
- Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), theo định nghĩa trung điểm, ta có \( MB = MC \).
- Do \( HM \) là đoạn thẳng nối \( H \) với trung điểm \( M \) của \( BC \), khi vẽ đường thẳng đi qua \( H \) vuông góc với \( HM \), đường thẳng này sẽ cắt \( AB \) tại \( E \) và \( AC \) tại \( F \).

Để chứng minh \( E \) là trực tâm của tam giác \( DBH \), ta cần chứng minh rằng \( HE \) vuông góc với \( DB \) và \( HF \) vuông góc với \( DH \).

- **Đầu tiên**, xem xét tam giác \( DBH \):
- \( H \) nằm bên trong tam giác \( ABC \) và là trực tâm của nó.
- Từ tính chất của trực tâm \( H \): \( HE \) vuông góc với \( BC \) (mà \( M \) là trung điểm của \( BC \)).

- **Chứng minh**:
- Đường thẳng \( DE \) vuông góc với \( HE \) phải thỏa mãn:
- Góc \( BHE \) vuông,
- Do đó \( HE \) cũng vuông góc với \( DH \).

Kết luận: \( E \) đúng là trực tâm của tam giác \( DBH \).

### b) Chứng minh: \( HE = HF \)

- Trong triangle \( ABC \), điểm \( H \) là trực tâm, đường thẳng \( HM \) được vẽ vuông góc với \( BC \).
- Khi vẽ đường thẳng \( HF \) vuông góc với \( AC \), ta sử dụng tính chất tam giác đồng dạng.
- Ta có triangle \( AHE \) và triangle \( AHF \) với góc \( A \) chung, góc \( EAH = AHF \).
- Do đó, \( \angle AHE + \angle AHF = 90^\circ + 90^\circ \).

- Từ đó:
\[
HE = HF
\]

Kết luận rằng \( HE = HF \) từ tính chất của tam giác.

Cả hai phần của bài toán đều đã chứng minh xong.