Cho P. Rút gọn P

Để rút gọn biểu thức \( P \), ta thực hiện từng bước như sau:

### a) Rút gọn \( P \)

Cho \( P = \left( \frac{\sqrt{x}}{x-4} + \frac{1}{\sqrt{x-2}} \right) \cdot \frac{\sqrt{x-2}}{2} \).

Bước đầu tiên là tìm một mẫu số chung cho phần tử đầu tiên trong ngoặc. Ta làm như sau:

1. **Tìm mẫu số chung:**

Mẫu số chung giữa \( x-4 \) và \( \sqrt{x-2} \) là \( \sqrt{x-2}(x-4) \).

2. **Biến đổi các phần tử:**

\[
\frac{\sqrt{x}}{x-4} = \frac{\sqrt{x} \sqrt{x-2}}{\sqrt{x-2} (x-4)}
\]
\[
\frac{1}{\sqrt{x-2}} = \frac{x-4}{\sqrt{x-2}(x-4)}
\]

3. **Cộng với mẫu số chung:**

\[
\frac{\sqrt{x} \sqrt{x-2} + (x-4)}{\sqrt{x-2}(x-4)}
\]

4. **Nhân với \(\frac{\sqrt{x-2}}{2}\):**

\[
P = \left( \frac{\sqrt{x} \sqrt{x-2} + (x-4)}{\sqrt{x-2}(x-4)} \right) \cdot \frac{\sqrt{x-2}}{2}
\]

\[
= \frac{\sqrt{x} (x-2) + (x-4) \sqrt{x-2}}{2(x-4)}
\]

### b) Tìm \( x \) để \( P < \frac{2}{3} \)

Sau khi đã có biểu thức rút gọn, ta giải bất phương trình:

\[
\frac{\sqrt{x} (x-2) + (x-4) \sqrt{x-2}}{2(x-4)} < \frac{2}{3}
\]

Giải bất phương trình này ta sẽ tìm ra các giá trị của \( x \).

### c) Tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \)

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \), ta có thể lấy đạo hàm và xem xét các điểm cực trị.

1. **Áp dụng quy tắc đạo hàm** để xác định các điểm cực trị.
2. **Xét giá trị tại các điểm biên** và các điểm cực trị để tìm giá trị nhỏ nhất.

Thông qua các bước này, ta sẽ có được các giá trị cụ thể cho từng phần của bài toán.