Cho tam giác ABC có các đường cao AH, BD. Chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn

Để chứng minh bốn điểm \( A, B, C, D \) cùng nằm trên một đường tròn, ta sẽ sử dụng tính chất của các đường cao trong tam giác.

Xét tam giác \( ABC \) với các đường cao \( AH \) và \( BD \).

1. **Chú ý về góc:**
- Đường cao \( AH \) hạ từ đỉnh \( A \) xuống cạnh \( BC \), do đó, góc \( AHB = 90^\circ \) và góc \( AHC = 90^\circ \).
- Tương tự, đường cao \( BD \) hạ từ đỉnh \( B \) xuống cạnh \( AC \), do đó, góc \( BDA = 90^\circ \) và góc \( BDC = 90^\circ \).

2. **Xét tứ giác \( ABDC \):**
- Ta có:
- Góc \( AHB = 90^\circ \)
- Góc \( BDA = 90^\circ \)

Không khó để nhận ra rằng tổng hai góc đối nhau của tứ giác \( ABDC \) là:
\[
\angle AHB + \angle BDA = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ
\]
Do đó, theo tính chất của tứ giác nội tiếp, tứ giác \( ABDC \) có thể được chứng minh là nội tiếp một đường tròn.

3. **Kết luận:**
- Vì bốn điểm \( A, B, C, D \) tạo thành tứ giác \( ABDC \) với tổng hai góc đối nhau bằng \( 180^\circ \), nên ta có thể khẳng định rằng bốn điểm này nằm trên cùng một đường tròn.

Vậy ta đã chứng minh được bốn điểm \( A, B, C, D \) cùng nằm trên một đường tròn.