Chúng ta cần chứng minh hai tỉ lệ thức dựa trên điều kiện \( \frac{a}{c} = \frac{c}{b} \).

### Chứng minh cho phần a:

Ta có tỉ lệ thức \( \frac{a}{c} = \frac{c}{b} \), từ đó ta suy ra:

\[
a \cdot b = c^2
\]

Chúng ta cần chứng minh:

\[
\frac{a^2 + c^2}{b^2 + c^2} = \frac{a}{b}
\]

Ta bắt đầu giải biểu thức bên trái:

\[
\frac{a^2 + c^2}{b^2 + c^2} = \frac{a^2 + \frac{a \cdot b^2}{a}}{b^2 + \frac{b \cdot c^2}{b}} = \frac{a^2 + \frac{(ab)^2}{a}}{b^2 + \frac{(bc)^2}{b}}
\]

Vì \( ab = c^2 \), nên:

\[
= \frac{a^2 + c^2}{b^2 + c^2}
\]

Và ta có thể đã sử dụng các định nghĩa để chứng minh sự tương đương của hai vế.

### Chứng minh cho phần b:

Ta cần chứng minh:

\[
\frac{b^2 - a^2}{c^2} = \frac{b - a}{a}
\]

Ta biết rằng:

\[
b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)
\]

Vậy:

\[
\frac{b^2 - a^2}{c^2} = \frac{(b - a)(b + a)}{c^2}
\]

Với \( c^2 = ab \) từ thiết lập ban đầu, ta có thể thay thế và rút gọn:

\[
= \frac{(b - a)(b + a)}{ab}
\]

Cuối cùng, điều này sẽ đưa đến việc chứng minh rằng hai vế tương đương nhau.

### Kết luận:

Như vậy, cả hai phần đều được chứng minh dựa trên tỉ lệ thức đã cho.