Để giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
\sqrt{x} + 2\sqrt{y} - 1 = 5 \\
4\sqrt{x} - \sqrt{y} - 1 = 2
\end{cases}
\]

### Bước 1: Giải phương trình thứ nhất

Từ phương trình thứ nhất:

\[
\sqrt{x} + 2\sqrt{y} - 1 = 5
\]

Ta có:

\[
\sqrt{x} + 2\sqrt{y} = 6 \tag{1}
\]

### Bước 2: Giải phương trình thứ hai

Từ phương trình thứ hai:

\[
4\sqrt{x} - \sqrt{y} - 1 = 2
\]

Ta có:

\[
4\sqrt{x} - \sqrt{y} = 3 \tag{2}
\]

### Bước 3: Biến đổi và giải hệ

Từ (1), ta suy ra:

\[
\sqrt{y} = \frac{6 - \sqrt{x}}{2} \tag{3}
\]

Thay (3) vào (2):

\[
4\sqrt{x} - \frac{6 - \sqrt{x}}{2} = 3
\]

Nhân toàn bộ phương trình với 2 để loại bỏ mẫu:

\[
8\sqrt{x} - (6 - \sqrt{x}) = 6
\]

Kết quả:

\[
8\sqrt{x} + \sqrt{x} - 6 = 6
\]

\[
9\sqrt{x} = 12
\]

\[
\sqrt{x} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}
\]

### Bước 4: Tính giá trị của x

Bình phương hai vế:

\[
x = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}
\]

### Bước 5: Tính giá trị của y

Thay giá trị của \(\sqrt{x}\) vào (3):

\[
\sqrt{y} = \frac{6 - \frac{4}{3}}{2} = \frac{\frac{18}{3} - \frac{4}{3}}{2} = \frac{\frac{14}{3}}{2} = \frac{7}{3}
\]

### Bước 6: Tính giá trị của y

Bình phương hai vế:

\[
y = \left(\frac{7}{3}\right)^2 = \frac{49}{9}
\]

### Kết quả

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

\[
x = \frac{16}{9}, \quad y = \frac{49}{9}
\]